Discuter:Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie

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Sommaire 1 Justification de la création de l'article 2 Pourquoi séparer cet article du cas général ? 3 autre proposition de titre 4 Jeu du labyrinthe 5 Conclusion sur le premier jet 6 Doute sur la validité de cet article

[modifier] Justification de la création de l'article

Cgolds émet l'idée que les démonstrations associées à cet article ne doivent pas être insérées n'importe où De toute façon, cela ne semble pas le bon endroit pour une preuve. Elles sont dont retirées de l'article boule et se trouvent dans espace euclidien. Salle et Vivarés émettent la même idée, l'emplacement n'est pas pertinent.

Après une tentative à mon avis maladroite de ma part de l'inclure dans l'article espace vectoriel normé, je pense que ce sujet mérite un article en lui-même. Jean-Luc W (d) 16 décembre 2007 à 12:01 (CET)

[modifier] Pourquoi séparer cet article du cas général ?

Le cas général est un article de synthèse résumant l'essentiel des propriétés de ce vaste sujet. Ses qualités résident dans la concision et la généralité.

Y inclure le contenu de cet article abime la concision et limite la généralité (ici n'est traité que le cas de R et C). De plus, le contenu développé dans l'article est suffisant pour un article à part entière.

D'autres articles doivent être créés sur le même modèle pour couvrir le cas des espaces réflexifs, Banach, Hilbert, Préhilbertien etc... Il n'est pas envisageable, pour une question de taille de tout inclure dans un unique article. Jean-Luc W (d) 16 décembre 2007 à 12:01 (CET)

OK pour moi. Il y a tout de même à mon avis quelques risques liés à ce genre de pages, je liste ce qui me passe par la tête : 1) vouloir à tout prix faire de toute page un article complet, typiquement, avec historique, etc. : si c'est pour recopier des historiques bien faits ailleurs en les tordant jusqu'à ce qu'ils rentrent dans le sujet, ça ne vaut pas le coup. 2) tomber dans la leçon d'agreg : ce n'est pas ce qu'on veut faire. Ces deux points étant posés, il ne faut à mon sens pas craindre d'aboutir à un article qui ne soit pas plus long qu'un ou deux écrans, tant que ce qu'on a à dire vraiment sur le sujet n'est pas plus long.

Après cette poussée moralisatrice, je répète ce que j'ai dit ailleurs : à mon avis, la continuité des applications linéaires vient en premier. Ensuite l'équivalence des normes, et, concernant cet énoncé, on doit pouvoir aboutir à une caractérisation de la dimension finie par l'équivalence des normes, et la compacité de la boule unité, et cela me semble plus satisfaisant de le regrouper. Salle (d) 17 décembre 2007 à 09:38 (CET)

Oh, sage Salle : j'ai un souci. Penses-tu qu'il faille montrer la continuité des applications linéaires pour toutes les normes dans l'ensemble d'arrivée ou pour une norme particulière ? Dans les deux cas, tu divises en deux une démonstration (par exemple si on le montre pour toutes les normes, on montre qu'une norme quelconque est majorée par la norme du sup, première partie de la démonstration de l'équivalence des normes). En soit, cela ne me semble pas bien grave mais qu'y gagne-t-on ? Pour ton aboutissement, je reconnais qu'il est plus élégant et comme il faut de toute manière remanier l'article pour aussi y insérer les résultats de la non équivalence des normes si les dimensions sont différentes (théorème de la boule ouverte de Brouwer) et l'unicité de la topologie qui rende continue + et . Il faut donc repenser un plan plutôt que de partir sur une logique conçue pour un autre contexte. Si tu as une idée pertinente, ton aide est la bienvenue. Sinon je vais te soumettre quelque chose avant de le rédiger. Tu as moins le "nez dans le guidon" que moi sur le sujet.Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 10:12 (CET)

[modifier] autre proposition de titre

Je verrais mieux quelque chose comme "topologie des espaces vectoriels de dimension finie". Ca élargit un peu les thèmes à traiter (unicité de la structure d'evt, à signaler à la fin), mais le titre me semblerait plus naturel. Peps (d) 17 décembre 2007 à 12:01 (CET)

[modifier] Jeu du labyrinthe

Un gentil lecteur est perdu dans le labyrinthe suivant, quelqu'un pourrait-il mettre de l'ordre pour retrouver le chemin de fer de l'article ? Ici E est un evn de dim finie et F un evt :

• Toutes les normes sont équivalentes
• Il existe une unique topologie séparable rendant + et . continus
• E est uniformément homéomorphe à kⁿ
• La boule fermée est compacte
• Les compacts sont les fermés bornés
• Les sev sont fermés
• L(E,F) est composé d'applications continues k lipschitzienne (reste presque vrai pour les applications multilinéaires)
• L(F,E) est complet
• E est complet
• Kⁿ n'est pas homéomorphe à K^p (théorème de la boule ouverte)
• La régularité d'une fonction à valeur dans E est équivalente à la régularité des coordonnées
• ça marche aussi bien avec un corps valué complet.

Une fois le lecteur délabyrinthé, le titre apparaitra de lui-même.Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 12:27 (CET)

Je ne me mouille pas avant d'avoir consulté un bouquin :). Si vous n'avez pas trouvé la sortie d'ici là, j'essaierai de proposer une solution. Salle (d) 17 décembre 2007 à 15:06 (CET)

Il est rappelé que l'usage : de produit psychotrope, de divination ou d'information livresque est licite. En revanche, une unique méthode parmi les trois est vivement conseillée par votre humble serviteur. Le nom de la substance illicite, les coordonnées du mage et la ou les références livresques sont appréciés selon les nouvelles normes WP. Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 15:26 (CET)

Tant pis je me mouille un peu... voici un ordre "topology first" qui me semble être celui suivi par les cours de spé quand on y faisait de la topo (je fais de mémoire, sans trop réfléchir)

1. identification des compacts de R
2. identification des compacts de R^p, muni de la topo produit
3. les normes sont équivalentes
4. la plupart des prop en découlent simplement (choix de la norme infinie relativement à une base)
5. restent : le thm de la boule ouverte, les evt, l'extension à un corps valué... pour lesquels faudrait réfléchir (sans paquet de copies :( ) Peps (d) 17 décembre 2007 à 18:47 (CET)

Après vérif de mes propres cours de spé (pour moi, en tant qu'étudiant :)), j'arrive à quelque chose de globalement pareil : Bolzano-Weierstrass dans R, et après, on chope ce qu'on veut en dimension supérieure en premier (continuité des AL, les compacts, équivalence des normes, la boule est compacte), de toute manière, c'est à peu près équivalent. Salle (d) 18 décembre 2007 à 09:39 (CET)

Allons y, cela donnerait ?

1. identification des compacts de R
2. identification des compacts de R^p, muni de la topo produit
3. les normes sont équivalentes
4. la plupart des prop en découlent

• Les sev sont fermés
• E est complet
• L(E,F) est composé d'applications continues k lipschitzienne (reste presque vrai pour les applications multilinéaires)
• L(F,E) est complet
• La régularité d'une fonction à valeur dans E est équivalente à la régularité des coordonnées

1. point de vue topologique :

• E est uniformément homéomorphe à kⁿ
• Il existe une unique topologie séparable rendant + et . continus
• Kⁿ n'est pas homéomorphe à K^p (théorème de la boule ouverte)

1. ça marche sur les corps valués complets.

Jean-Luc W (d) 18 décembre 2007 à 10:03 (CET)

En conclusion, on commence par de la topo et on finit par de la topo, le titre pepsien semble gagnant, à décider en fin d'article. Jean-Luc W (d) 19 décembre 2007 à 19:07 (CET)

[modifier] Conclusion sur le premier jet

Voilà le premier jet terminé. Je compte maintenant laisser reposer. Trois constats s'impose :

• Le choix de traiter par un nouvel article le cas de la dimension finie est justifié. L'article est trois fois plus long que espace vectoriel normé ou espace vectoriel topologique car la simplicité de la configuration permet d'aller dans les détails.
• L'axe topologique est justifié. Les outils topologiques sont majoritaires dans l'article.
• Pour aller plus loin, des articles connexes sont nécessaires, particulièrement sur le travail de Brouwer. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2007 à 11:17 (CET)

[modifier] Doute sur la validité de cet article

C'est moi où tout ce qui se dit dans cet article n'est valable que pour un espace vectoriel sur ou ( aussi peut-être). Ca a l'air d'être en filigrane dans tout l'article mais pas clairement dit (par exemple ce n'est pas dans le titre). Noky (d) 8 janvier 2008 à 20:33 (CET)

Fine remarque, d'un lecteur attentif. Dans un premier temps est indiqué : Le corps sous-jacent à l'espace vectoriel E est noté K, il désigne soit R soit C le corps des nombres complexes. En fin d'article plus précisément à partir du paragraphe topologie, les démonstrations montent un peu en gamme et un paragraphe précise : Les démonstrations sont valables si le corps est complet et valué, il cite deux exemples les quaternions et le corps des fractions rationnelles (attention ce n'est pas le petit corps des nombres rationnelles mais le gros dont les éléments sont des quotients de polynômes formelles sur R ou C). En pratique les théoriciens des nombres en connaissent d'autres avec des valuations p-adiques. On précise que pour que l'intégralité des propositions établies soit vraie, il faut aussi que le corps soit localement compact (avec le corps des fractions rationnelles la boule unité perd sa compacité). Je n'ai pas voulu rentrer dans ces subtils détails en début d'article. Pour l'immense majorité des lecteurs le cas réel ou complexe est central. Je n'ai pas voulu passer sous silence le fait que les résultats sont parfois présenté avec les hypothèses de corps valué complet localement compact d'où mes remarques finales. J'ai donc trois questions :

• Quels éléments mets tu en doutes ?

En fait c'est principalement le titre que je mets en doute. Car je ne m'attendais pas à priori à tomber sur les espaces vectoriels à corps complet etc. De plus l'introduction laisse à penser que les topologies des evt viennent d'une norme. Mais il y en a d'autres, telles que celles de Zariski etc. Je trouve que l'on devrait renommer cet article. Noky (d) 9 janvier 2008 à 09:18 (CET)

• Trouves tu justifié le choix de traiter dans un premier temps R et C puis uniquement en fin d'article les corps valués complets localement compacts ?

Non ça c'est sûrement très bien.Noky (d) 9 janvier 2008 à 09:18 (CET)

• Trouves tu les sources insuffisantes par endroit et si oui où ?

Les sources je m'en fous.Noky (d) 9 janvier 2008 à 09:18 (CET)

Merci de ta relecture. Jean-Luc W (d) 8 janvier 2008 à 21:13 (CET)