Théorème de réarrangement de Riemann

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En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann qui stipule que si une série à valeurs réelles est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, et même tendre vers plus ou moins l'infini.

[modifier] Enoncé

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs réelles telle que sa série associée soit semi-convergente, c'est à dire que

$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R$

mais

$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty$

et soit $\alpha \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}$ .

Alors il existe une permutation $σ$ de $\N$ tel que

$\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha$

[modifier] Exemple

Prenons l'exemple de la série harmonique alternée. On définit donc une suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ par

$\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$

dont la série converge d'après le critère de convergence des séries alternées. Mais ne converge pas absolument car la série harmonique diverge.

Il est connu que

$\sum_{k=1}^{+\infty} u_k =1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots=\ln(2)$

(voir l'article série entière pour une démonstration).

Soit $N\in \N-\{0,1\}$ . En réarrangeant la suite des sommes partielles, on a

$\sum_{k=1}^{2N} u_k = \left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12} \right) + \ldots+\left( \frac{1}{N - 1} - \frac{1}{2(N - 1)} - \frac{1}{2N}\right)$

On se retrouve donc avec des blocs de trois quotients du type

$\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{2(k - 1)} - \frac{1}{2k}$

et comme

$\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{2(k - 1)} = \frac{1}{2(k - 1)}$

la suite des sommes partielles peut être réécrite comme

$\sum_{k=1}^{2N} u_k =\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{2(N - 1)} - \frac{1}{2N}$

puis en factorisant par 1/2 on obtient

$\sum_{k=1}^{2N} u_k =\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots - \frac{1}{N}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} u_k$

En faisant tendre $N$ vers l'infini, on obtient que notre nouvelle série vaut la moitié de la série harmonique alternée.

Conclusion : il existe une permutation telle que la nouvelle série converge vers la moitié de la somme de la série de départ. En réitérant le procédé, on peut faire converger cette série vers n'importe quel nombre réel.

[modifier] Références

L'article de Bernhard Riemann Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonomètrique d'une fonction donnée arbitrairement dans l'ouvrage Et Dieu créa les nombres, les plus grand textes de mathématiques réunis et commentés par Stephen Hawking chez Dunod.