Théorème de Poincaré

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Le théorème de Poincaré est un théorème fondamental en analyse à plusieurs variables et en géométrie différentielle. Il fournit la condition pour qu'une forme différentielle $ω$ soit exacte, c'est-à-dire qu'elle soit la différentielle d'une fonction $f$ dite primitive de $ω$ : on écrit $ω = d f$ .

Théorème — Soit $ω = ω 1 d x 1 + ω 2 d x 2 + ... + ω n d x n$ une forme différentielle de degré un, de classe $C 1$ sur un ouvert étoilé $U$ . $ω$ est exacte si et seulement si $ω$ est fermée, c'est-à-dire si

$\forall i,j < n,\quad\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}$

Le fait que l'exactitude implique la clôture est une simple application du théorème de Schwarz.

Démonstration

Considérons une forme différentielle exacte

$\omega = \mathrm df = \omega_1 \mathrm dx_1 + \omega_2 \mathrm dx_2 + \ldots + \omega_n \mathrm dx_n$

de classe $C 1$ . Nous savons par ailleurs que

$\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x_1} \mathrm dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \mathrm dx_2 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \mathrm dx_n$

Ainsi pour tout $i, j < n$

$\omega_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$ et $\omega_j = \frac{\partial f}{\partial x_j}$

En dérivant $ω i$ et $ω j$ respectivement selon $x j$ et $x i$ ,

$\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$ et $\frac{\partial \omega_j}{\partial x_i} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$

En vertu du théorème de Schwarz — qui s'applique ici car les $ω i$ sont supposés de classe $C 1$ — ces deux dérivées partielles sont égales, d'où

$\forall i,j < n,\quad\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}$

ce qui achève la démonstration.

La réciproque de cette implication est fausse. Cependant, elle est vraie sur un ouvert étoilé, comme le montre le théorème.

Démonstration

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Le théorème s’intérprète également en termes — beaucoup plus formels — de cohomologie de De Rham.

Remarque — On écrit également

$\forall i,j < n,\quad\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} - \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i} = 0$

ce qui correspond, en dimension trois, à

$\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\Omega = \mathbf 0$

avec

$\Omega = \begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}$ .

Remarque — D'autre part, on peut écrire $ω$ sous la forme

$\omega = \Omega \circ \mathrm d\mathbf r$

où le cercle dénote le produit scalaire, avec

$\Omega = \begin{pmatrix}\omega_1\\\vdots\\\omega_n\end{pmatrix}$ et $\mathrm d\mathbf r = \begin{pmatrix}\mathrm dx_1\\\vdots\\\mathrm dx_n\end{pmatrix}$

ce qui montre que si $ω = d f$