Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :

Théorème de Schwarz — Soit f, une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert U de ℝn. Si les dérivées partielles existent à l'ordre p et sont continues en un point x de U, alors le résultat d'une dérivation à l'ordre p ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux p variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables x et y, on obtient :

\frac{\partial^2f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial^2f} {\partial y\, \partial x}

[modifier] Un contre-exemple

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Considérons la fonction :

f(x,y)= \begin{cases} \frac{x y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Les dérivées sont :

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} y^3 \frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } y \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

et

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \begin{cases} x y^2 \frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Les dérivées partielles croisées d'ordre 2 en (0,0) sont

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = 0\text{ et }\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = 1

[modifier] Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où f est une fonction de classe C2 :

\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy

Nous savons alors que :

a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} et b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}

En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

\frac{\partial a(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial b(x,y)}{\partial x}