Théorème de Poincaré-Birkhoff

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème de Poincaré-Birkhoff est un théorème fondamental en dynamique. Il affirme que si f est une application d'un anneau dans lui-même qui préserve les aires (i.e. pour tout ensemble U, l'aire de U égale l'aire de f(U)) et fait tourner les deux bords dans des sens opposés, alors f possède au moins deux points fixes.

Bien que ce théorème ressemble au théorème du point fixe de Brouwer, il est nettement plus difficile à démontrer, car la condition d'aire y joue un rôle crucial. Il existe en effet des applications f satisfaisant une seule des deux hypothèses du théorème, et n'ayant aucun point fixe. Conjecturé par Poincaré en 1905, il sera démontré par G.D. Birkhoff en 1912, le rendant immédiatement célèbre dans le monde mathématique.

Dans un commentaire par V.I. Arnold des œuvres complètes de Poincaré, celui-ci conjectura que la généralisation en dimension supérieure de ce théorème devait être la suivante:

Toute transformation Hamiltonienne du tore T²ⁿ possède au moins 2n+1 points fixes.

Ce résultat fut démontré par C. Conley et E. Zehnder en 1983 et généralisé depuis à d'autres variétés symplectiques.

• Portail des mathématiques