Théorème de Plancherel

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Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel.

Soit f\ une fonction de carré sommable sur \mathbb{R} et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A,A] :

\hat{f}_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx

Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions \hat{f}_A convergent en moyenne quadratique (c'est-à-dire pour la norme ||.||2) vers une fonction qu'on note \hat{f} et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f\ .

En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction \hat{f} est elle-même de carré sommable et

f = \underset{A \mapsto +\infty}{\lim\limits_{\|\;\|_2}} \left[ \frac1{\sqrt{2\pi}}\, \int_{-A}^{A} \hat{f}(w)\, e^{iwx}\, dw\right]

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est qui plus est une isométrie

\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2

Cette définition est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables.

Le théorème de Plancherel se généralise dans le cas ou la transformée de Fourier est définie sur de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement compacts (cf Dualité de Pontryagin) ou encore plus simplement les groupes abéliens finis (cf Analyse harmonique sur un groupe abélien fini).

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