Intégrabilité

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L'intégrabilité d'une fonction est, en mathématiques, sa capacité à pouvoir être intégrée.

Toute fonction f continue (éventuellement par morceaux) sur un segment J est intégrable sur ce segment J.

Une fonction f positive continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable sur I, si l'ensemble des intégrales de f sur des segments inclus dans I est majoré. La borne supérieure de cet ensemble est alors appelée « intégrale de f sur I ».

Une fonction f complexe continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable sur I si la fonction |f| (module de f, qui est une fonction positive) est intégrable sur I.

Toute fonction complexe non intégrable sur I, mais telle que l'ensemble des intégrales sur des segments Jn inclus dans I, avec I limite de Jn à l'infini, tend malgré tout vers un complexe quand n tend vers l'infini, est dite semi-convergente.

Au fil de l'histoire, on a élargi la classe des fonctions que l'on savait intégrer. Les fonctions en escalier sont le point de départ de la théorie qui a permis de définir la Riemann-intégrabilité aboutissant à la construction de l'intégrale de Riemann.

Les fonctions réglées sont une classe de fonctions intégrables qui englobent et élargissent donc la classe précédente : c'est l'ensemble des fonctions qui sont limites uniformes de fonctions en escalier.

Par la suite Lebesgue élargira encore cette classe en y incluant des fonctions telle que la fonction de Dirichlet (fonction indicatrice de ) qui ont un nombre infini (dénombrable) de points de discontinuité.