Théorème de Descartes

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Cercles tangents. Soient trois cercles tangents entre eux (noirs), quel peut-être le rayon d'un quatrième cercle tangent à ceux-ci ? Il existe généralement deux réponses (cercles rouges). Les nombres sont les courbures des cercles.

En géométrie, le théorème de Descartes, découvert par René Descartes, établit une relation entre quatre cercles tangents entre eux. Il peut être utilisé pour construire un quatrième cercle tangent aux trois autres.

[modifier] Histoire

Les problèmes géométriques concernant des cercles tangents ont été discutés depuis des millénaires. En Grèce antique, 3 siècles avant Jésus-Christ, Apollonius de Perga a consacré un livre entier à ce sujet. Malheureusement ce livre, Tangences, a disparu.

René Descartes parle brièvement du problème en 1643, dans une lettre adressée à la princesse Élisabeth de Bohême. Il a fourni essentiellement la même solution que celle donnée dans l'équation (1) ci-dessous, c'est pourquoi son nom a été donné au théorème.

Frederick Soddy a redécouvert l'équation en 1936. Les cercles dans ce problème sont parfois connus en tant que cercles de Soddy, peut-être parce que Soddy a choisi d'éditer sa version du théorème sous forme de poésie intitulée The Kiss precise , qui a été imprimé dans Nature le 20 juin 1936. Soddy a également étendu le théorème aux sphères.

[modifier] Définition de la courbure

Le théorème de Descartes s'énonce plus simplement en utilisant la courbure du cercle. La courbure d'un cercle est définie ainsi k = ± $\frac 1r$ , où r est son rayon. Plus le cercle est grand, plus sa courbure est petite, et vice versa.

Le signe plus dans k = ± $\frac 1r$ s'utilise pour un cercle qui est tangent extérieurement aux autres cercles, comme les trois cercles noirs dans la figure ci-dessus. Dans le cas d'un cercle tangent intérieurement, comme le grand cercle rouge dans la figure, le signe moins est utilisé.

[modifier] Le théorème de Descartes

Si quatre cercles tangents entre eux ont pour courbure k_i (pour i = 1…4), le théorème de Descartes énonce:

(1)

$(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).$

Réécrite l'équation nous donne la courbure du quatrième cercle tangent à trois cercles donnés tangents :

(2)

$k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}.$

Le signe ± indique qu'il existe en général deux solutions. D'autres critères peuvent favoriser une solution.

[modifier] Cas particulier

Un des cercles est remplacé par une droite (courbure nulle) : le théorème de Descartes s'applique toujours.

Si un des trois cercles est remplacé par une droite, k₃ (par exemple) est nulle. Ainsi l'équation (2), simplifiée, nous donne :

(3)

$k_4=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.$

Le théorème de Descartes ne s'applique pas quand plus d'un cercle est remplacé par une droite. Le théorème ne s'applique pas non plus lorsque plus d'un cercle est tangent intérieurement, par exemple dans le cas de trois cercles imbriqués tangents en un point.

[modifier] Théorème complexe de Descartes

Afin de définir un cercle complètement, non seulement son rayon (ou sa courbure), mais aussi son centre doivent être connus. L'équation appropriée est plus claire si les coordonnées (x, y) sont interprétées comme un nombre complexe z = x + iy. L'équation est alors similaire au théorème de Descartes et s'appelle le théorème complexe de Descartes.

Soient quatre cercles de courbure k_i et de centre z_i (pour i = 1…4), l'égalité suivante se tire de l'équation (1):

(4)

$(k_1z_1+k_2z_2+k_3z_3+k_4z_4)^2=2\,(k_1^2z_1^2+k_2^2z_2^2+k_3^2z_3^2+k_4^2z_4^2).$

Une fois que k₄ trouvée via l'équation (2), on peut calculer z₄ en réécrivant l'équation (4) sous une forme semblable à l'équation (2). Encore une fois , il y aura en général deux solutions pour z₄, correspondant aux deux solutions pour k₄.