Théorème de Cayley

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En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire affirmant que tout groupe se réalise comme sous-groupe d'un groupe de permutations :

Théorème — Tout groupe fini G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}(G)$ des permutations de G. En particulier, si G est un groupe d'ordre n, il est isomorphe à un sous groupe fini de $\mathfrak{S}_n$ .

Ce théorème fut démontré en 1854 dans un article intitulé Sur la théorie des groupes comme dépendance de l'équation symbolique $θ n = 1$ .

[modifier] Remarques

Ce théorème n'est pas toujours aussi puissant qu'il n'y paraît. Par exemple, dans le cas du cardinal fini, il plonge un groupe dans un autre groupe de cardinal supérieur et égal à $n!$ .

Ce théorème est utilisé pour la théorie de représentation des groupes. Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$ et $(e 1,..., e n)$ une base d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ . Le théorème de Caley indique que $G$ est isomorphe à un groupe de permutation des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme qui ici par définition est un automorphisme. Cela définit une représentation du groupe, on parle alors de représentation régulière.

[modifier] Démonstration

Soit $G$ un groupe et $g$ un élément du groupe. On définit l'application $t g$ de $G$ dans $G$ comme étant la translation à gauche :

$\forall x\in G\, t_g(x)=gx$

Les propriétés élémentaires des groupes montrent que $t g$ est bien une permutation. Soit $\varphi\,$ l'application de $G$ dans son ensemble d'arrivée, partie de $\mathfrak{S}(G)$ , définie par :

$\forall g \in G \quad \varphi (g)=t_g\;$

$\varphi\,$ est un morphisme, en effet:

$\forall g\ h\ x \in G\, \varphi (gh)(x)=t_g\ t_h (x)= ghx=\varphi (g) \varphi (h)(x)\;$

Par construction, $\varphi\,$ est surjective.
Montrons alors que $\varphi\,$ est injective. Pour cela considérons $g$ et $h$ deux éléments du groupe. Si $t g$ et $t h$ sont égales, alors leurs images de l'élément neutre sont aussi égales et $g$ est égal à $h$ . Ce qui montre que l'application est injective.