Symétrisation de Steiner

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La symétrisation de Steiner est une opération visant à transformer un compact K en un autre compact. Cette transformation a été utilisé pour démontrer certaines inégalités isopérimétriques dans les cas généraux.

[modifier] Définition

Dans un espace affine euclidien, soit H un hyperplan et $σ H$ la symétrie par rapport à cet hyperplan. Soit K un compact. On définit alors le symétrisé de Steiner $s t H (K)$ comme :

$\forall D \perp H$ :

soit $K \cap D = \empty$ et $st_H(K) \cap D = \empty$
soit $K \cap D = \empty$ et $st_H(K) \cap D = \empty$
soit $K \cap D \neq \empty$ et $st_H(K) \cap D$ est alors un segment porté par D, de milieu situé en $K \cap H$ et de longueur, sur D, égale à celle de $K \cap D$ .

[modifier] Conséquences

On peut montrer que la syéltrisation de Steiner n'est pas continue pour la Distance de Hausdorff.
$s t H (s t H (K)) = s t H (K)$ .
La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.

Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:

Quelque soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a $V(K) \leq 2^{-n} \beta(n) (diam(K))^n$ , avec $β(n)$ le volume de la boule unité dans l'espace considéré.