Suite exacte

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On définit une suite exacte pour des ensembles munis de la structure de groupe (groupe, anneau, module, etc...) et des homomorphismes entre ces ensembles. On supposera que les ensembles étudiés sont des groupes additifs.

Soient \left( {G_i} \right)_{i \in \mathbb{Z}} des groupes et f_i : G_{i} \rightarrow G_{i+1} des morphismes de groupes, on dit que la suite :

\cdots \xrightarrow{f_\ldots} G_i \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}} G_{i+2} \xrightarrow{f_\ldots} \cdots


est exacte si pour tout i on a Im(fi) = Ker(fi + 1).

En particulier :

0 \rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2 \xrightarrow{g} G_3 \rightarrow 0

est une suite exacte (on dit parfois suite exacte courte) signifie que f est injective, Im(f) = Ker(g) et que g est surjective.

Cette suite sera dite scindée s'il existe un morphisme s de G3 dans G2, appelé section et tel que :

g\circ s=\mathrm{id}_{G_3}

L'existence de sections est liée, en théorie des groupes, à la notion de produit semi-direct. Plus généralement, dans une catégorie abélienne, elle est liée à la notion de somme directe.