Suite arithmético-géométrique

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En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite mélangeant les concepts de suite arithmétique et de suite géométrique.

Sommaire

1 Définition
2 Terme général
- 2.1 Méthode classique
- 2.2 Méthode utilisant une série géométrique
3 Somme des premiers termes
4 Convergence
5 Utilisation

[modifier] Définition

On se place dans un corps $K$ quelconque, par exemple $\R$ (corps des réels) ou $\mathbb C$ (corps des complexes). Soient $a,b \in K$ et soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeur dans $K$ . On dit que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est une suite arithmético-géométrique si et seulement si elle vérifie la relation de récurrence suivante au delà d'un certain rang $n 0$ :

$\forall n\geq n_0,\ u_{n+1}=a u_n+b$

[modifier] Terme général

Pour le cas $a = 1$ , on a affaire à une suite arithmétique.

[modifier] Méthode classique

Dans le cas où $a \ne 1$ , on cherche par translation à se ramener à une suite géométrique : On pose

v n = u n + c

avec $c \in K$ , puis on démontre que $(v n)$ est géométrique si et seulement si

$c = -\frac{b}{1-a}$

On trouve alors que

$v_n = v_{n_0}a^{n-n_0}$

Puis, grâce aux relations entre $u n$ et $v n$ , on obtient

$u_n = a^{n-n_0}(u_{n_0}- r)+r$

en posant

$r =\frac{b}{1-a}$

On peut remarquer que la valeur $r$ est la seule valeur de $u_{n_0}$ pour laquelle la suite est constante.

[modifier] Méthode utilisant une série géométrique

Une autre méthode, dans le cas où $n 0 = 0$ consiste à voir la suite $(u n)$ comme la somme des terme d'une suite géométrique.

On remarque que

u 1 = a u 0 + b

u 2 = a 2 u 0 + a b + b

u 3 = a 3 u 0 + a 2 b + a b + b

Le terme général est donc (résultat obtenu par récurrence):

$u_{n}=a^{n}u_{0}+ \sum_{i=0}^{n-1}a^{i}b$ .

Avec la somme des premiers termes d'une suite géométrique, on obtient le terme général suivant:

$u_{n}=a^{n}u_{0} + b\dfrac{1-a^{n}}{1-a} = a^{n}\left(u_{0}-\dfrac{b}{1-a}\right)+\dfrac{b}{1-a}$

En posant

$r=\dfrac{b}{1-a}$

on trouve

u n = a n (u 0 - r) + r

On obtient bien le même résultat que dans la section précédente, dans le cas $n 0 = 0$ .

[modifier] Somme des premiers termes

Dans le cas où $n 0 = 0$ , on a la formule suivante (que l'on peut démontrer par récurrence):

$\sum_{i=0}^{n-1} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{1-a^{n}}{1-a} + nr\,$ .

toujours en posant

$r=\frac{b}{1-a}$

[modifier] Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de $a$ et, éventuellement, le signe de

$u_{n_0} - \frac{b}{1-a}$

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où $| a | < 1$ . Dans ce cas, la limite de la suite est

$\frac{b}{1-a}$

quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

[modifier] Utilisation

La suite arihmético-géométrique se rencontre dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle) : apport de 10 et fuite de 5%, $u_{n+1} = u_n+ 10 - 5\% \times u_n$

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si $R n$ représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite $(R_n)\,$ est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : $R n + 1 = (1 + t) R n - M$