Discuter:Sphère de Hill

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« ...l'endroit de l'espace où le gradient des champs gravitationnels des deux objets s'équilibrent. En d'autres termes, là où la force de gravitation du premier objet est égale à la force de marée du deuxième... »

Ce n'est pas la même chose; si les deux gradients sont égaux, alors on compare les GM/r³; la deuxième phrase est erronée car alors on compare Gm/r² du premier avec rGM/r³ du second, sans spécifier sur quelle distance le gradient du second est intégré (pour obtenir la force de marée). D'où correction de l'article.

Urhixidur 13 aoû 2004 à 20:53 (CEST)

Bon, je refais les calculs, parce que je me trompe et je ne sais pas où : dans le cas du Soleil, l'accélération due à la gravité en un point est a_s = \frac {GM_s} {R^2} (R étant la distance du point au Soleil). La différence d'accélération entre deux points distants de dR<<R est alors da_s = \frac {2GM_s} {R^3} dR. Dans le cas d'un objet situé à la distance r<<R du centre d'une planète orbitant autour du Soleil, on a alors la force de marée due au Soleil F_m = m\frac {2GM_s} {R^3} r qui s'y applique dans le référentiel de cette planète, tandis que la force d'attraction gravitationnelle due à la planète est F_p = -m\frac {GM_p} {r^2}.

La limite de la Sphère de Hill est donc l'endroit où la force de marée due au Soleil compense la force d'attraction gravitationnelle de la planète (ce qui est logique, puisqu'on cherche l'endroit où cette force de marée est suffisante pour perturber une orbite autour de la planète), soit donc \frac {2GM_s} {R^3} r = \frac {GM_p} {r^2}. Du coup, je ne sais pas d'où vient ce "3" dans la formule du rayon de la sphère de Hill.

Alors, où est-ce que je me plante ? :)

Grum 14 aoû 2004 à 13:58 (CEST)

[modifier] Dérivation

Considérons le cas particulier où le soleil, la planète et le satellite sont sur une même ligne, dans l'ordre. Soit Ms la masse du Soleil, Mp la masse de la planète (la masse du satellite est considérée négligeable). Soit R la distance Soleil-planète, et r la distance planète-satellite. Supposons enfin que notre référentiel soit en co-rotation avec cet ensemble, à la vitesse angulaire ω. Puisque la planète est en orbite, nous avons :

\frac{GM_s}{R^2} = \omega^2R

d'où :

\omega^2 = \frac {GM_s}{R^3} (la bonne vieille troisième loi de Kepler)

Au niveau du satellite, l'accélération est :

a = -\frac{GM_s}{(R+r)^2} + \omega^2(R+r) -\frac {GM_p}{r^2}

C'est-à-dire la gravité du Soleil, l'effet centrifuge (induit par notre référentiel) et la gravité de la planète. Substituant la valeur de ω, nous avons :

a = -\frac{GM_s}{(R+r)^2} + \frac {GM_s(R+r)}{R^3} -\frac {GM_p}{r^2}

a(R+r)^2 = -GM_s + \frac {GM_s(R+r)^3}{R^3} -\frac {GM_p(R+r)^2}{r^2}

a(R+r)^2 = -GM_s + \frac {GM_s(R^3+3R^2r+3Rr^2+r^3)}{R^3} -\frac {GM_p(R+r)^2}{r^2}

Si on considère r négligeable par rapport à R, cela devient :

aR^2 \approx -GM_s + \frac {GM_s(R^3+3R^2r)}{R^3} -\frac {GM_pR^2}{r^2}

aR^2 \approx \frac {3GM_srR^2}{R^3} -\frac {GM_pR^2}{r^2}

a \approx \frac {3GM_sr}{R^3} - \frac {GM_p}{r^2}

Le rayon de Hill/Roche correspond à l'accélération nulle :

\frac {3M_sr}{R^3} \approx \frac {M_p}{r^2}

r^3 \approx \frac {M_pR^3}{3M_s}

CQFD

Urhixidur 15 aoû 2004 à 20:33 (CEST)

On remarquera que la position r du satellite ainsi définie est le point de Lagrange L2. La position entre le Soleil et la planète correspond, évidemment, au point L1.

Urhixidur 15 aoû 2004 à 20:37 (CEST)