Série zêta rationnelle

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En mathématiques, une série zêta rationnelle est la représentation d'un nombre réel arbitraire en termes d'une série constituée de nombres rationnels et de la fonction zêta de Riemann ou de la fonction zêta d'Hurwitz. Plus précisément, pour un nombre réel donné x, la série zêta ratonelle pour x est donnée par

x=\sum_{n=2}^\infty q_n \zeta (n,m)

où q_n\, est un nombre rationnel, la valeur m reste fixée et \zeta(s,m)\, est la fonction zêta d'Hurwitz. Il n'est pas difficile de montrer que tout nombre réel x peut être développé de cette manière. Pour m entier, on a

x=\sum_{n=2}^\infty q_n \left[\zeta(n)- \sum_{k=1}^{m-1} k^{-n}\right]

Pour m=2, beaucoup de nombres intéressants ont une expression simple sous forme de série zêta rationnelle :

1=\sum_{n=2}^\infty \left[\zeta(n)-1\right]

et

1-\gamma=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\left[\zeta(n)-1\right]

où \gamma\, est la constante d'Euler-Mascheroni. Il existe aussi une série pour \pi\, :

\log \pi =\sum_{n=2}^\infty \frac{2(3/2)^n-3}{n}\left[\zeta(n)-1\right]

et

\frac{13}{30} - \frac{\pi}{8} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^{2n}}\left[\zeta(2n)-1\right]

devient notable à cause de sa convergence rapide. Cette dernière série se déduit de l'identité générale

\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} t^{2n} \left[\zeta(2n)-1\right] = \frac{t^2}{1+t^2} + \frac{1-\pi t}{2} - \frac {\pi t}{e^{2\pi t} -1}

qui peut être transformée à partir de la fonction génératrice des nombres de Bernoulli

\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!}

Adamchik et Srivastava donnent une série similaire

\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{2n}}{n^2} \zeta(2n) = \log \left(\frac{\pi t} {\sin (\pi t)}\right)

Sommaire

[modifier] Séries reliées à la fonction polygamma

Un nombre de relations supplémentaires peuvent être déduites à partir des séries de Taylor pour la fonction polygamma au point z=1, qui est

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}.

Ceci converge pour |z|<1. Un cas particulier est

\sum_{n=2}^\infty t^n \left[\zeta(n)-1\right] = -t\left[\gamma +\psi(1-t) -\frac{t}{1-t}\right]

qui reste valide pour | t | < 2. Ici, \psi\, est la fonction digamma et \psi^{(m)}\, est la fonction polygamma. Beaucoup de séries impliquant les coefficient binomiaux peuvent être dérivés :

\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = \zeta(\nu+2)

où \nu\, est un nombre complexe. Ceci est issu du développement en série de la fonction zêta d'Hurwitz

\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x)

pris à y = − 1. Des séries similaires peuvent être obtenues simplement en algèbre :

\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = 1

et

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = 2^{-(\nu+1)}

et

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+2} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = \nu \left[\zeta(\nu+1)-1\right] - 2^{-\nu}

et

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = \zeta(\nu+2)-1 - 2^{-(\nu+2)}

Pour n\geq 0\, entier, la série

S_n = \sum_{k=0}^\infty {k+n \choose k} \left[\zeta(k+n+2)-1\right]

peut être écrite comme une série finie

S_n=(-1)^n\left[1+\sum_{k=1}^n \zeta(k+1) \right]

Ceci se déduit d'une simple relation récursive S_n+S_{n+1} = \zeta(n+2)\,. Ensuite, la série

T_n = \sum_{k=0}^\infty {k+n-1 \choose k} \left[\zeta(k+n+2)-1\right]

peut être écrite sous la forme

T_n=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta(2)+\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k (n-k) \zeta(k+1) \right]

pour n\geq 1 entier. Ceci se déduit à partir de l'identité T_n+T_{n+1} = S_n\,. Ce processus peut être appliqué récursivement pour obtenir des séries finies pour les expressions générales de la forme

\sum_{k=0}^\infty {k+n-m \choose k} \left[\zeta(k+n+2)-1\right]

pour les nombres entiers positifs m.

[modifier] Séries de puissances demi-entières

Des séries similaires peuvent êtres obtenues en explorant la fonction zêta d'Hurwitz pour les valeurs demi-entières. Ainsi, par exemple, on a

\sum_{k=0}^\infty \frac {\zeta(k+n+2)-1}{2^k} {{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta(n+2)-1

[modifier] Expressions sous la forme de séries p

Adamchik et Srivastava donnent

\sum_{n=2}^\infty n^m \left[\zeta(n)-1\right] = 1\, + \sum_{k=1}^m k!\; S(m+1,k+1) \zeta(k+1)

et

\sum_{n=2}^\infty (-1)^n n^m \left[\zeta(n)-1\right] = -1\, +\, \frac {1-2^{m+1}}{m+1} B_{m+1} \,- \sum_{k=1}^m (-1)^k k!\; S(m+1,k+1) \zeta(k+1)

où B_k\, sont les nombres de Bernoulli et S(m,k)\, sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

[modifier] Autres séries

D'autres constantes ont des séries zêta rationnelles remarquables :

[modifier] Références