Série de Bertrand

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Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand la série à termes réels positifs suivante :

\sum_{n\ge 2}{1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}.

La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour α = 1 et β = 0 :

\sum_{n\ge 2}{1 \over n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...

Théorème de Bertrand —  Une série de Bertrand converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Cette condition nécessaire et suffisante est parfois résumée en : « le couple (α,β) est lexicographiquement postérieur à (1,1)». Cela se réfère à l'ordre adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.

  • Exemple :

On sait que la série harmonique diverge, et que la série \sum_{n\ge 1}{1 \over n^\alpha} converge si et seulement si α > 1 (série de Riemann). Bien-sûr, si α > 1, {1 \over n^\alpha}=o\left(\frac{1}{n}\right), cependant il existe des séries dont le terme général est négligeable devant \frac{1}{n} mais qui divergent.

La série de Bertrand permet alors d'exhiber un contre-exemple à l'implication erronée suivante : (u_n)_{n\in\N}=o\left(\frac{1}{n}\right)\Rightarrow \sum_{n\in\N} u_n converge. La « (1,1)-série de Bertrand », ie la série :

\sum_{n\ge 2}{1 \over n\,\ln n}

est divergente, d'après la proposition, alors que {1 \over n\,\ln n}=o\left(\frac{1}{n}\right).