Résolution de l'équation de Kepler

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Dans le mouvement keplerien, l'équation de Kepler relie l'anomalie moyenne M = nt à l'anomalie excentrique E par l'équation

$M = E - e \cdot \sin E$

où e est l'excentricité de la planète.

Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :

comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M
comme série de puissance de e, si e < eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série.
comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé.

Sommaire

1 Série de Fourier
2 Série entière de l'excentricité
- 2.1 Cas des comètes :
3 Calcul numérique
4 Histoire des sciences
5 Voir aussi
6 Bibliographie

[modifier] Série de Fourier

C'est Lagrange qui trouve l'expression, bien que le nom J_n(x) soit associé au nom de Bessel.

E-M = fonction impaire périodique de M :

$E-M = e\cdot sinE = 2 \cdot \Sigma_{n=1} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)$

il est facile d'en déduire (a/r)-1 = 2 $\Sigma_{n=1}J_n(ne)\cdot \cos (nM)$

[modifier] Série entière de l'excentricité

C'est encore Lagrange qui trouve la solution ; et Laplace donnera le rayon de convergence : mais Cauchy, pas content du tout, fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de Puiseux.

$E-M = \Sigma_{n=1} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)$

avec $\ a_n(M) = D^{n-1} (\sin^n M)$ et D := opérateur dérivée.

C'est l'application du théorème d'inversion de série de Lagrange.

Le rayon de convergence de la série est : eo = 0.6627434193

tel qu'indiqué par Laplace (1823) et démontré par Cauchy et Puiseux :

$e_o = 2 {\sqrt{x(1-x)}\over {1-2x}}$ et x tel que ${1-x \over x} = exp ({2 \over 1-2x})$ .

Note: cela peut s'écrire différemment : cf discussion.

[modifier] Cas des comètes : $e > \ e_o$

Le premier à se confronter au problème est Horrocks, puis surtout Halley (1705), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673.

Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel(1805) résout ce cas, mais pour e > 0.997

Gauss (1809) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 < e < 0,95

Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile à problèmes, en cas d'itération !

[modifier] Calcul numérique

Les calculs via les intégrateur symplectiques exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.
Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver !

Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1.

Nijenhuis (1991) adopte la methode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e).

Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un coefficient de Liapunov de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits.

Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite(échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans.

[modifier] Histoire des sciences

Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation :

c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué.

Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, Bouillau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665?), Wren (1658), Wallis (1659),... De toutes, celle de Jeremiah Horrocks (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

Colwell (1993) : Solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, ISBN 0-943396-40-9
Brinkley (1803) : Trans roy irish ac, 7,321-356.