Principe fondamental de la statique

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Le principe fondamental de la statique (PFS) exprime les conditions d'équilibre d'un solide dans un référentiel.

Un objet est à l'équilibre lorsqu'il a un mouvement rectiligne uniforme (son accélération est nulle). Souvent, on considère le cas d'un objet immobile.

[modifier] Énoncé avec les forces et les moments

Considérons un solide soumis à un ensemble de forces extérieures $\vec{\mathrm{F}}_1$ , $\vec{\mathrm{F}}_2$ , …, $\vec{\mathrm{F}}_n$ , et considérons un point A quelconque de l'espace. Alors, le solide est en équilibre si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces par rapport à A est nul :

$\sum_{i = 1}^n \vec{\mathrm{F}}_i = \vec{0}$ ;

$\sum_{i = 1}^n \vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}(\vec{\mathrm{F}}_i) = \vec{0}$ .

En général, on ne choisit pas le point A au hasard : pour simplifier les calculs, on prend le point d'application d'une force inconnue, et lorsque plusieurs forces sont inconnues, on prend le point d'application de la force « la moins connue » (celle dont on ne connaît ni l'intensité, ni la direction).

Notons que l'on peut aussi avoir des moments « tous seuls », des couples (par exemple action d'un tournevis, d'un arbre moteur) ; ceux-ci s'ajoutent alors à la deuxième expression.

Dans le cas d'un problème plan, on peut se contenter d'exprimer les moments par un nombre et non un vecteur, on écrit alors pour la deuxième condition :

$\sum_{i = 1}^n \mathrm{M}_{\mathrm{A}}(\vec{\mathrm{F}}_i) = 0$ .

Notons que le moment d'une force $\vec{\mathrm{F}}_i$ par rapport à A est également souvent noté

$\vec{\mathrm{M}}_{\vec{\mathrm{F}}_i/\mathrm{A}}$ ,

la deuxième condition s'écrit alors :

$\sum_{i = 1}^n \vec{\mathrm{M}}_{\vec{\mathrm{F}}_i/\mathrm{A}} = \vec{0}$ .

[modifier] Énoncé avec les torseurs

Considérons un solide 0 soumis à un ensemble d'actions mécaniques extérieures représentées par les torseurs statiques $\{ \mathcal{T}_{1/0} \}$ , $\{ \mathcal{T}_{2/0} \}$ , …, $\{ \mathcal{T}_{n/0} \}$ . Alors, le solide est en équilibre si la résultante des actions extérieures est nulle :

$\sum_{i = 1}^n \{ \mathcal{T}_{i/0} \} = \{ 0 \}$ .

Pour simplifier les calculs, on transporte tous les torseurs au point d'application d'une action inconnue (point où la réduction du torseur de cette action est un glisseur), et lorsque plusieurs actions sont inconnues, on prend le point d'application de l'action « la moins connue » (celle ayant le plus de composantes inconnues).

[modifier] Traduction graphique

En statique graphique, la nullité de la somme des forces se traduit par un polygone des forces (un dynamique) fermé.

La nullité des moments peut se traduire par la construction d'une funiculaire, ou dans certains cas simples :

solide soumis à deux forces : les deux forces ont la même ligne d'action ;
solide soumis à trois forces non parallèles : méthode des trois forces concourantes ;
solide soumis à quatre forces dont les directions sont connues : méthode de Culmann.

[modifier] Statique et dynamique

Le principe fondamental de la statique peut être vu comme un cas particulier du principe fondamental de la dynamique : celui lorsque les accélérations linéaire $\vec{a}$ et angulaire $\vec{\alpha}$ sont nulles.