Préconditionneur

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En algèbre linéaire et en analyse numérique, un préconditionneur $P$ d'un matrice $A$ est une matrice telle que le conditionnement de $P - 1 A$ est plus petit que celui de $A$ .

Le préconditionnement est surtout utilisé dans les méthodes itératives pour la résolution d'un système linéaire (méthode du gradient, méthode du gradient conjugué, ...).

Au lieu de résoudre,

$Ax=b\,$

on préfère résoudre

$P^{-1}Ax=P^{-1}b\,$

qui permet de diminuer considérablement le nombre d'itérations dans la méthode de résolution (itérative). On dit que le système est "mieux" conditionné.

Ici, nous avons écrit un préconditionneur à gauche. Nous pouvons aussi écire un préconditionneur à droite. Dans ce cas, la résolution se fait en deux temps:

$AP^{-1} z=b\,$ et

x = P - 1 z

Nous pouvons, dans la même idée, écrire un préconditionneur à droite et à gauche, c'est à dire:

$P^{-1}_1AP^{-1}_2z=P^{-1}_1b\,$ avec $x=P^{-1}_2z$ et $A \approx P_1P_2$

En général, on ne calcule pas explicitement $P$ , mais on utilise des algorithmes pour trouver un inverse approché de $A$ ( SPAI, décomposition LU, factorisation de Cholesky, ...). Dans certaines méthodes numériques (intégrales de frontières avec décomposition multipôles, ...), on préfère définir le produit matrice-vecteur, ce qui permet de réduire le stockage de(s) matrice(s), donc certains types de préconditionneur seront préférés.