Poutre (élément de structure)

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La poutre est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux et désignant un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine). Cette structure est utilisée pour la construction dans les bâtiments, les navires et autres véhicules, dans la fabrication de machines.

Sommaire

1 Principes de modélisation
2 Efforts intérieurs
3 Cas simples en deux dimensions
- 3.1 Poutre sur deux appuis avec charge linéaire q
  - 3.1.1 Problème
  - 3.1.2 Solution
- 3.2 Barre sur deux appuis avec force F
  - 3.2.1 Problème
  - 3.2.2 Solution
4 Bibliographie
5 Liens externes

[modifier] Principes de modélisation

En deux dimensions, la simplification consiste à considérer que seul un effort tranchant, un effort de traction et un moment de force est transmis de section à section, suivant le principe de la coupe. Ces effort sont appelés effort intérieurs.

En trois dimensions, les choses se corsent puisque d'une part, les efforts intérieurs se trouvent enrichis d'un moment de torsion, d'autre part, les réactions dont nous avions parlé en deux dimensions doivent être considérés dans deux plans perpendiculaires. Il y a donc sept efforts intérieurs.

Une théorie complexe, faisant appel à l'intégration et à la mécanique du solide déformable, permet de transformer ces efforts intérieurs en tenseur des contraintes et par la même de déterminer un effort de comparaisons suivant un des critères de Tresca ou de Von Mises.

Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont correctement représentés lorsqu'on s'éloigne du point d'application. Ainsi, si localement cette modélisation ne donne pas de bon résultats, on peut les considérer comme presque corrects dès que la distance au point d'application dépasse X fois le diamètre de la section. Ce Principe n'est valable que pour des poutres massives, pour la plupart des autres cas il est faux. Il faut en ce sens entendre "poutre massive" lorqu'ici est évoqué la notion de poutre.

[modifier] Efforts intérieurs

[modifier] Convention en deux dimensions

Seul trois composantes sont transmises suivant la convention ci-dessous (Fig. 2). En vertu du principe d'action et de réaction, les effort transmis à une section A à une section adjacente B sont opposé à ceux transmis par la section B sur la section A. Ceci explique le sens différent des effort sur le coté gauche et sur le côté droit :

Sur le côté gauche : l'effort normal $N$ sort de la poutre, l'effort tranchant $V$ monte vers le haut et le moment $M$ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ;
Sur le côté droit : l'effort normal $N$ sort de la poutre, l'effort tranchant $V$ va vers le bas et le moment $M$ tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

[modifier] Convention en trois dimensions

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[modifier] Détermination des efforts intérieurs

La détermination des efforts intérieurs repose sur le principe de la coupe. Après avoir déterminé les réactions d'appui sous les charges considérées, on crée une coupe à un endroit donné de la poutre. On formule l'équilibre d'un des deux solide extrait par la pensée de la poutre, en considérant les efforts intérieurs ( $N (x)$ , $V (x)$ et $M (x)$ en deux dimensions). On obtient un système d'équation aisé à résoudre, dans le cas des poutres isostatiques.

[modifier] Diagrammes des efforts intérieurs

Une vision simple de la sollicitation de la poutre est de tracer le diagramme des efforts transmis de section à section en fonction de la position le long de la poutre, ce diagramme est parfois appelé diagramme des contraintes.

On représente ces derniers comme des fonctions le long de l'axe des $x$ en traçant des lignes.

[modifier] Cas simples en deux dimensions

Dans son expression la plus simple, c'est un élément linéaire de longueur $L$ , de section droite $A$ portant de $a$ à $b$ , sur deux appuis A et B, soumis à une force $F i$ et à des charges distribuées $q j$ .

Fig. 1 illustre une poutre simple sur deux appuis soumise à une force $F$ orthogonale à la poutre.

Fig. 1: Poutre soumise à une force $F i$ et à des charges distribuées $q j$

Il est plus aisé de montrer ce procédé sur des exemples concrets.

[modifier] Poutre sur deux appuis avec charge linéaire q

[modifier] Problème

Soit la poutre de longueur $6 m$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une charge linéaire constante $280 k g$ telle représentée en Fig. 3.

Déterminez les diagrammes de $N$ , $V$ et de $M$ le long de la poutre.

[modifier] Solution

Les réactions d'appuis se déterminent aisément en formulant l'équilibre des moments autour de $A$ une fois et autour de $B$ une deuxième fois :

$B \times L - qL \times \frac{L}{2} = 0$ donne $B = \frac{1}{2}qL$
$-A \times L + qL \times \frac{L}{2} = 0$ donne $A = \frac{1}{2}qL$

Ensuite on coupe la poutre en la position $x$ , on remplace la partie coupée par les efforts intérieurs $N$ , $V$ et de $M$ , les appuis par les réactions d'appui et on formule l'équilibre :

$N (x) = 0$
$A -V(x) - q \times x = 0$
$V(x) = q(\frac{1}{2}L - x)$
$-A \times x + qx \times \frac{x}{2} +M(x) = 0$

ce qui donne, avec $A=\frac{1}{2}qL$ , $M(x)=\frac{1}{2}qx(L-x)$

Fig. 3 représente les efforts intérieurs.

Les efforts normaux $N (x)$ sont nuls tout le long de la poutre.
L'effort de cisaillement est maximal aux appuis : $V_A = V(x=0) = +\frac{qL}{2}$ , respectivement $V_B = V(x=L) = -\frac{qL}{2}$ . Entre ces deux valeurs, $V (x)$ est linéaire, avec $V(\frac{L}{2}) = 0$ .
Le moment $M (x)$ décrit une fonction parabolique le long de la poutre. Sa valeur est maximale en $x=\frac{L}{2}$ ou elle vaut $M_{Max} = M(\frac{L}{2})=\frac{1}{2}q\frac{L}{2}(L-\frac{L}{2})=\frac{1}{8}qL^2$ .

Fig. 3: Poutre simple sur deux appuis avec charge linéaire $q i$

[modifier] Barre sur deux appuis avec force $F$

[modifier] Problème

Soit la poutre de longueur $L$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une force $F$ distante de $a$ de $A$ et de $b$ de $B$ . Le système est représenté en Fig. 4.

Déterminez les lignes de $N$ , $V$ et de $M$ le long de la poutre.

[modifier] Solution

La aussi, on détermine en premier lieu les réaction d'appui :

$F\times a-B\times L=0$ donne $B = \frac{a}{L}F$ ou bien $B = \frac{a}{a+b}F$ ;
$-A \times L + F \times b = 0$ donne $A = \frac{b}{L}F$ ou bien $A = \frac{b}{a+b}F$ .

Pour la détermination des efforts intérieurs, il faudra procéder par intervalles. En premier, étudions l'intervalle (1) : $0\leq x<a$ :

$N 1 (x) = 0$
$A - V 1 (x) = 0$ qui donne $V 1 (x) = A$ $V_1(x)=\frac{b}{a+b}F$ et ensuite
$-A \times x + M_1(x) = 0$ qui donne $M_1(x)=x\frac{b}{a+b}F$

A présent l'intervalle (2) : $a<x\leq L$ :

$N 2 (x) = 0$
$B + V 2 (x) = 0$ qui donne $V 2 (x) = - B$ ou bien $V_2(x) = -\frac{a}{a+b}F$
$-B \times (L-x) + M_2(x) = 0$ qui donne $M_2(x) = (L-x)\frac{a}{a+b}F$

Comme la force F agit exactement à $x\,=\,a$ , il n'est formellement pas possible de décider à quel intervalle appartient ce point ; l’effort tranchant $V (a)$ à cet endroit est donc indéfini. L'ambiguïté n'existe que pour $V (a)$ , car :

$N 1 (a) = N 2 (a) = 0$ est bien défini
$M_1(a) = a\frac{b}{a+b}F = \frac{ab}{a+b}F$ et $M_2(a)=(L-a)\frac{a}{a+b}F=\frac{ba}{a+b}F$ donne $M 1 (a) = M 2 (a)$ est aussi bien défini

Fig. 4: Poutre simple sur deux appuis avec charge $F$

[modifier] Bibliographie

La bibliographie correspond à l'enseignement du premier et du second cycle universitaire du master en science de l'ingénieur, orientation mécanique.

Wikibooks propose un ouvrage abordant ce sujet : Formulaire des poutres simples.

[modifier] Liens externes

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[modifier] Principes de modélisation

[modifier] Efforts intérieurs

[modifier] Convention en deux dimensions

[modifier] Convention en trois dimensions

[modifier] Détermination des efforts intérieurs

[modifier] Diagrammes des efforts intérieurs

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[modifier] Poutre sur deux appuis avec charge linéaire q

[modifier] Problème

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[modifier] Problème

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