Polynôme de Jacobi

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En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,$

où $(\alpha+1)_n\,$ est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

$P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,$

pour laquelle la valeur finale est

$P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .$

Ici, pour l'entier $n\,$

${z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},$

et $\Gamma(z)\,$ est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété $1/\Gamma(n+1) = 0\,$ pour $n=-1,-2,\dots\,$ . Ainsi,

${z\choose n} = 0 \quad\hbox{pour}\quad n < 0.$

Les polynômes ont la relation de symétrie $P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z)$ ; ainsi, l'autre valeur finale est

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .$

Pour un nombre réel $x$ , le polynôme de Jacobi peut être écrit alternativement sous la forme

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= \sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}$

où $s \ge 0 \,$ et $n-s \ge 0 \,$ .

Dans le cas particulier où les quatre quantités $n$ , $n + α$ , $n + β$ et $n + α + β$ sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.$

La somme sur $s\,$ s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner $d^j_{m' m}(\phi)\;$ ( $0\le \phi\le 4\pi$ ) en terme de polynômes de Jacobi ^[1]

$d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).$

[modifier] Dérivées

La $k$ -ème dérivée de l'expression explicite conduit à

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .$