Polynôme d'Hermite

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant l'algèbre.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui ont été nommés ainsi en l'honneur de Charles Hermite. Ils sont définis comme suit :

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}$ (forme dite probabiliste)

$\hat H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$ (forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante: $\hat H_n(x) = 2^{n/2}H_n(\sqrt{2}\,x)\,\!$ .

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

$H_0(x)=1~$

$H_1(x)=x~$

$H_2(x)=x^2-1~$

$H_3(x)=x^3-3x~$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3~$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x~$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15~$

$\hat H_0(x)=1~$

$\hat H_1(x)=2x~$

$\hat H_2(x)=4x^2-2~$

$\hat H_3(x)=8x^3-12x~$

$\hat H_4(x)=16x^4-48x^2+12~$

$\hat H_5(x)=32x^5-160x^3+120x~$

$\hat H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120~$

On peut démontrer que dans ${H_p}~$ les coefficients d'ordre ayant la même parité que $p-1~$ sont nuls et que les coefficients d'ordre $p~$ et $p-2~$ valent respectivement $1~$ et $-p(p-1)/2~$ .

[modifier] Orthogonalité

$H n$ est un polynôme de degré $n$ . Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure $μ$ de densité

$\frac{d\mu(x)}{dx} = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}.$

Ils vérifient :

$\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}$

où $δ n m$ est le symbole de Kronecker. Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert $L_2(\mathbb C,\mu)$ des fonctions boréliennes telles que: