Points de Brocard

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point Ω tels que les angles \widehat{\Omega AB} \widehat{\Omega BC} et \widehat{\Omega CA} orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point Ω' tels que les angles \widehat{\Omega'BA} \widehat{\Omega'CB} et \widehat{\Omega'AC} orientés positivement soient égaux.


Image:Brocard.gif

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles \widehat{\Omega AB} \widehat{\Omega BC} \widehat{\Omega CA} \widehat{\Omega' BA} \widehat{\Omega'CB} et \widehat{\Omega'AC} sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ω et qui peut être calculé à partir de la formule :

\tan \omega = \frac{S}{a^2 + b^2 + c^2}

où S désigne la surface du triangle.

Enfin on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont \left(\frac{ac}{b}:\frac{ba}{c}:\frac{cb}{a}\right) et celles du second point de Brocard sont \left(\frac{ab}{c}:\frac{bc}{a}:\frac{ca}{b}\right).

[modifier] Propriétés remarquables

  • Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
  • La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Voir : Construction avec des cercles tangents à un côté passant par deux sommets