Point de Lebesgue

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En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point $x$ du domaine de définition d'une application $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ lebesgue-intégrable est appelé point de Lebesgue lorsque $f$ varie "très peu" au voisinage de $x$ ou de manière plus générale si les moyennes des applications $t\mapsto|f(t)-f(x)|$ sur les boules centrées sur $x$ sont "très petites".

[modifier] Définition

Plus précisément et de manière formelle $x$ est un point de Lebesgue de $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ si

$\lim_{r\rightarrow 0^+}\frac{1}{\lambda\left(B\left(x,r\right)\right)}\int_{B(x,r)} |f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda(t)=0;$

où $B\left(x,r\right)$ désigne la boule de $\mathbb{R}^n$ centrée en $x$ et de rayon $r > 0$ et $λ$ désigne la mesure de Lebesgue.

[modifier] Un théorème

Le théorème de différenciation de Lebesgue affirme que si $f\in L^1(\mathbb{R})$ alors presque tous les points de $\mathbb{R}$ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points $x\in\mathbb{R}$ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

[modifier] Application

Une application directe du théorème précédent est la première partie du théorème fondamentale du calcul :

Si $f\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$ et $F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)d\lambda(t)$ alors $F$ est dérivable en tout point de Lebesgue de $f$ et $F^\prime(x)=f(x)$ en tout point de Lebesgue de $f$ donc presque partout.