Discuter:Nombre réel

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biunivoque, c'est pas un très vieux mot plus franchement utilisé, ça?! Ca doit vouloir dire bijection, si je me souviens bien ce que j'ai lu tracé sur le mur de la caverne en question ;-) Snark 13:31 mar 8, 2003 (CET)

Sommaire

[modifier] Nombre réel et Construction des nombres réels

Le premier n'adresse que quelques mots abstrus à un mathématicien déjà chevronné et laisse toute sa substance au second dont l'approche n'est d'ailleurs pas plus didactique. Roby 18 septembre 2005 à 07:24 (CEST)

J'ai rajouté les bandeaux de fusion. Je ne pense pas que la fusion soit pertinente, car on peut dire beaucoup de chose sur les nombres réel sans parler de leur construction. Epommate 18 septembre 2005 à 11:11 (CEST)
l'article nombre réel avait été vandalisé le 8 septembre. J'ai remis sa version d'origine et j'ai laissé provisoirement le bandeau de fusion. Je ne suis personnellement pas favorable à une fusion et je partage l'avis d'Epommate : il faut compléter l'article sur nombre réel (parler de la "découverte" des nombres irrationels, clarifier le plan...) Un vrai boulot pour un courageux. HB 18 septembre 2005 à 22:09 (CEST)
J'ai été étonné des bandeaux "Page à fusionner" sur ces pages. C'est seulement ensuite que j'ai vu le vandalisme dans l'historique de Nombre réel. Je pense qu'un Nombre réel peut exister en dehors de toute construction mathématique (une définition axiomatique suffit), parce que c'est avant tout une notion intuitive à qui sait manipuler correctement un double-décimètre. Évidement, le fait que l'on puisse les construire à partir d'ensembles plus simples est plaisant pour le mathématicien, mais à mon goût anectotique, et la construction, complexe, ne doit pas être fusionner avec la notion beaucoup plus simple de ce que représente le nombre. En terme de cible, Contruction des nombres réels est à destination des mathématiciens, et Nombre réel est à destination de tout public, et doit contenir un lien vers l'autre (elle le contient déjà). La fusion n'a pas à se faire à mon avis. AGiss 8 octobre 2005 à 19:05 (CEST)
Je pense aussi que la fusion est une erreur, les nombres réels correspondent à une intuition qui n'a pas besoin d'une construction complexe comme sa construction ou son unicité. En revanche, la problèmatique indiqué dans l'article s'applique à mon gout aux rationnels qui remplissent toutes les conditions indiquées, même les décimaux suffisent pour un tel article. En conséquense et tel quel, la problématique des réels n'est pas abordée. Jean-Luc W 28 novembre 2005 à 23:48 (CET)
J'ai refondu l'article pour expliquer la raison de sa construction. La version précédente s'applique à mon goût plus aux rationnels ou aux décimaux. On y traite pas la spécificité des réels. Je propose ici une version ou la spécificité des réels est expliqués même pour des non spécialistes. La redondance avec la construction des réels est nulle. J'espère que l'article est suffisamment simple pour être compris d'un grand nombre, sinon il n'a pas sa raison d'être. Il reste encore du travail pour alléger le style, inclure les images il manque des appendices pour expliquer pourquoi les nombres réels sont nécessaires à l'élaboration de l'analyse ...Jean-Luc W 29 novembre 2005 à 09:25 (CET)


[modifier] Complétion et complètude

Attention, la complétion est une technique mathématique qui permet de compléter un ensemble, cette technique n'implique pas que l'espace d'arrivée est complet. On peut par exemple 'compléter' l'espace des fonctions en escalier pour obtenir les fonctions d'intégrables au sens de Reimann. Cette complétion se réalise à partir de la norme L1, mais la complétion n'est pas un espace complet pour autantJean-Luc W 30 novembre 2005 à 23:58 (CET)

Non, ce que tu dis est faux ; complétion peut très bien vouloir dire "ajouter des éléments de manière à obtenir un espace complet". Le mathématicien se fie au contexte pour déterminer si le mot compléter est utilisé dans ce sens, ou dans un sens plus général, comme dans l'exemple que tu décris.Salle 22 mars 2006 à 10:47 (CET)

Nous somme d'accord ce n'est pas une équivalence, j'ai juste dit que l'implication n'est pas vrai. J'ai bien conscience que la complétion des rationnels par la méthode de Cauchy donne un espace complet, celui des réels, à la différence de la complétion des fonctions intégrables au sens de Reimann qui ne donne pas un espace complet. C'est pourquoi il me semble sage de préciser si l'ensemble complété est complet, ce qui est généralement fait, par exemple pour la construction des réels, le cours présentera (avec ou non démonstration) la complétude de l'espace complété qui n'est pas une évidence par construction.Jean-Luc W 22 mars 2006 à 13:20 (CET)

Oui, désolé, j'ai été pris d'une envie de polémiquer peu constructive...Salle 23 mars 2006 à 17:08 (CET)

[modifier] Supression du paragraphe sur la construction et étude des propriétés

L'étude des propriétés des réels ne se trouvent pas dans l'article de la construction de R et me semble nécessaire. Les informations qui traitaient de la construction se trouve maintenant dans les propriétés de complétude de R. J'ai supprimé l'information sur les coupures de Dedekind qui trouvent à mon gout plus leur justification dans l'article sur la construction.Jean-Luc W 30 novembre 2005 à 23:58 (CET)

[modifier] Euclide et la droite des réels

L'article commence à être pas mal. Mais il me semble qu'il faudrait reformuler l'intervention d'Euclide sur les nombres réels. la grande idée d'Euclide est d'associer grandeur et nombre et de faire un pont entre propriété géométrique et propriété numérique (livre X). C'est lui aussi qui donne tout son statut aux grandeurs commensurables et au nombres rationnels mais il ne peut pas avoir inventé la droite réelle car il ne lui serait pas venu à l'idée d'imaginer des grandeurs négatives (les nombres négatifs n'apparraissent en Inde que vers le VIe siècle sauf erreur de ma part). HB 8 décembre 2005 à 23:02 (CET)

Indéniable, c'est une idée qui apparaît au moyen-age chez nous. Oups. Tu es sur de ton coup sur les Indes? Il existe une autre imprécision, c'est Pythagore qui associe grandeur et nombre, mais son formalisme est pataphysique, il rentre dans une mystique spéciale. Donc j'ai aussi un peu abusé. Mais c'est Euclide qui formalise et qui laisse une trace écrite. C'est pour cela que j'ai centré sur lui. Il faut revoir tout cela. Pour l'instant j'essaie de faire quelque chose de sérieux sur les propriétés de R Quel boulot! Jean-Luc W 9 décembre 2005 à 01:06 (CET)

[modifier] Liens internes utilisés dans l'article

Il y a qq chose de pas tout à fait juste à propose de l'utilisation du tableau Liens internes utilisés dans l'article. J'ai vu qu'il provient de Portail:Mathématiques et son titre a été changé là aussi... (comme c'est le cas quand on change un wikipédia:modèle) Je pense que si un tel tableau doit être utilisé dans cet article, il vaut mieux copier son code (ou encore créer un modèle exprès, mais je ne sais pas si ce serait utlile...) Gene.arboit 11 décembre 2005 à 06:06 (CET) Ok, je pense comprendre un peu mieux ce qui a pu se passer... Gene.arboit 11 décembre 2005 à 06:08 (CET)

Les nombres réels sont un vaste sujet et qui touchent beaucoup de parties des mathématiques, il utilise donc beaucoup de liens. J'ai copié son code et je l'ai un peu trafiqué pour pouvoir l'utiliser dans ce contexte. Penses-tu que c'est une bonne solution? Je n'ai pas modifié le portail, j'ai recopié et détourner pour les besoins propres. Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 11:10 (CET)
Ça marche. En effet, ça semble être une idée intéressante. Il y a encore du travail à faire pour y mettre des liens en rapport avec l'article (de la dernière fois que je lui ai jeté un coup d'oeil...). Gene.arboit 11 décembre 2005 à 15:52 (CET)
Non tous les liens sont en rapport avec l'article. En revanche, les articles pointés sont souvent encore un peu pauvres. J'en ai enrichi une dizaine, mais il reste un gros boulot.Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 16:46 (CET)

[modifier] Intervalle non dénombrable

Je viens de lire avec intérêt ta démonstraton de [0 ;1] non dénombrable, que je ne connaissais pas ou que j'avais oubliée. J'ai cependant trois remarques à faire

  1. un problème d'indice: d'après ta construction, c'est un qui ne doit pas appartenir à [an + 1;bn + 1]
  2. une simplification possible: pourquoi envisager 3 cas ? deux cas suffisent : si un est dans la première moitié de [an;bn], on prend le troisième intervalle, sinon, on prend le premier intervalle
  3. il est inutile, à mon avis, de faire intervenir la troisième suite : il suffit d'utiliser le théorème des suites adjacentes

Qu'en penses-tu ? HB 11 décembre 2005 à 22:40 (CET)

C'est gentil de lire la preuve avec autant d'attention.
  1. Ta première remarque est pertinente, je corrige.
  2. Attention, gros piège!!!!! Cela m'a couté une bonne demi-heure de la corriger avec LaTeX. Imagine la suite 1/2, 1/4, 1/8 etc. Ma suite d'intervalles ne contenant pas de un est de la forme [0 1/2[ [0 1/4[ car je suis obligé d'enlever la borne si je coupe en deux. etc... bref ce ne sont plus des fermés. Que dire de leur intersection? avec des fermés emboités je suis tranquile il reste toujours quelque chose, mais avec des ouverts cela ne marche pas: exemple ]0 1[ ]0 1/2[ etc... si tu prend leur intersection, à la fin, tu tombes sur un vide insondable. Ta suite va converger c'est sur, mais comment me garanties tu que la limite n'est pas dans l'image de la suite un car elle n'est plus dans l'intersection de tes intervalles. J'ai fait l'erreur hier, Es tu convaincu? Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 23:00 (CET)

Non, non, pas convaincue, car si tu lis attentivement ma proposition, je conserve le découpage en 3 (j'avais senti la finesse), mais je limite les choix à deux (le dernier tiers si un est dans le première moitié, ou le premier tiers sinon. et pour les suites adjacentes ?

D'autre part, tu vas me juger casse-bonbon mais il me semble que toutes les démonstrations faisant intervenir la définition de R par des classes d'équivalences de suites de Cauchy doivent se trouver dans l'article construction des nombres réels au chapitre construction à l'aide des suites de Cauchy, et pas dans l'article nombre réel. Je n'ai pas encore lu toutes les démonstrations mais il semble que tu oublies la première : La somme sur les suites est-elle compatible avec la relation d'équivalence ? Sinon tu ne peux pas définir d'addition. Ce qui confirme que tout ceci n'a sa place que dans construction de R.HB 11 décembre 2005 à 23:15 (CET)

Je me rend, indéniable tu as raison. C'est plus simple, plus clair et donc plus beau avec ta méthode. Ensuite le quotien respecte-t-il l'addition, la multiplication et la relation d'ordre? C'est trois questions sont clairement de l'ordre de la construction des réels. c'est pour cela que tu ne les trouves pas ici. Je dois t'accorder que le fait que R soit un corps totalement ordonnée qui sastifasse l'axiome de la borne supérieure doit donc se retrouver dans la construction de R. La complétude, cela apparaît comme naturel de le mettre à dans la construction. Le cardinal, hum hum, je suis dubitatif, on va faire comme si c'est toi qui a la plus grande expérience dans l'enseignement. Mais il nous reste néanmoins un point de désaccord, je ne te trouve pas casse bonbon. :)Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 23:32 (CET)

Merci! Surtout pour la dernière remarque ;) J'ai mis ma patte sur ta démonstration de non dénombrabilité qui a, me semble-t-il, sa place dans l'article. Puisque nous sommes d'accord, je propose de transférer dans l'article construction toute les démonstrations prouvant que R est un corps totalement ordonné complet vérifiant la propriété de la borne supérieure. Je te propose aussi de classer les autres propriétés en deux groupes : celles déjà valides sur Q (archimédien, existence d'un rationnel et d'un irrationnel entre deux nombres : je peux te proposer pour celle-ci des démonstrations nettement plus simples que celle que tu as rédigées) et celles valides seulement sur R et conséquence de la propriété de la borne supérieure (en ajoutant la propriété des suites adjacentes). Les démonstrations de ces propriétés ont aussi leur place dans cet article. Enfin, dernier point : pas d'argument d'autorité sur wikipedia : être prof (bon ou mauvais?) ne donne pas de meilleure compétence pour écrire un encyclopédie. HB 12 décembre 2005 à 09:12 (CET)

Je répond point par point. C'est gentil de me donner une paternité surement pas mérité, mais comme toute mes démonstrations je ne pompe jamais sur les livres et pas de pb de copyright, Cependant tu es à l'origine de la moitié des idées. Avec tes modifs de hier et d'aujourd'hui, cela devient élégant léger et amusant. Ton idée de classement de semble pertinente, les démonstrations que je propose pour l'instant sont: lourdes, avec des notations foireuses, en bref avec LateX je rédige comme un taupin mal dégrossi. Pour les suites adjacentes, regarde l'article sur le Théorème des gendarmes, il me semble qu'il ne faut pas doublonner.
Pour l'instant, je suis un peu coincé sur la topologie. Pour une bonne rédaction, l'essentiel des preuves doivent se trouver dans les articles de topologie, la preuve dans l'article nombre réel devrait donc être uniquement une citation d'articles clé. Mais pour suivre cette logique, il reste encore du taff. L'article sur les Voisinage étaient un tissu de c..., et l'article sur les Espace topologique largement trop pauvre pour pouvoir s'appuyer dessus. Il y a du gros boulot à faire par la bas. Donc sent toi parfaitement libre pour contribuer sur les nombres réels sans risque de se marcher sur les pieds. Jean-Luc W 12 décembre 2005 à 11:30 (CET)

[modifier] droite réelle, bof

Arg, ouille, je souffre. HB, tu sautes 2000 ans, tu termines par Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux. au XVII siecle et hop d'un seul coup d'un seul tu retournes en arrière avec notre bon Euclide. Quelle horreur!!! Je reconnais qu'avant c'était faux donc encore plus horrible. J'imagine à terme la solution suivante: En même temps le pb des décimaux, arrive les notations des nombres qui n'existe pas, les nombres négatifs puis carrément délire des nombres imaginaire. Avec un petit passage en Inde (c'est beau et c'est exotique) et un séjour en Italie chez ce sacripant de Cardano. Puis l'immense Newton. On termine bien plus tard avec la rigueur teutonique et l'approche axiomatique de Hilbert. En attendant, il faut bien se contenter de ta version, la mienne est hélas un mensonge. :) Jean-Luc W 12 décembre 2005 à 19:44 (CET)

oui ce n'est pas très génial, mais ce n'est pas faux et je ne me sens pas d'écire un roman sur l'histoire des nombres en général. C'était la manière de réparer une affirmation fausse en cassant le moins possible. HB 12 décembre 2005 à 20:09 (CET)

[modifier] Européo-centrisme

L'histoire est européo-centrée. Marc Mongenet 14 décembre 2005 à 08:02 (CET)

Ce serait évidemment plus joli d'avoir une histoire mondiale des nombres réels mais je crois que nous sommes confrontés à deux problèmes:
  • Il existe un trou sur le rôle de l'Inde avec l'invention des nombres négatifs et la numération. Si tu connais des sources, c'est avec plaisir que je corrige.
  • Les réels, c'est avant tout la compréhension profonde de la nature topologique des nombres, comment expliquer Pi ou racine de deux. C'est une histoire essentiellement européenne. Il ne faut pas confondre cette histoire avec l'histoire des nombres qui, elle est mondiale. Par exemple, si les nombres négatifs ont été avant tout découvert par les indiens, ce sont les marchands européens qui les ont réinventer pour des raisons commerciales mille ans après, leur technique a été reprise par Descartes, puis par les tous les matheux européens. C'est de cette ligne de pensée que provient la construction des réels.
convaincu?
Non. Par européo-centrée, je ne veux pas dire que ça parle trop de l'Europe, mais que ça traite la question d'un point de vue européen. Un seul exemple : « Elle vint de perse ». Marc Mongenet 14 décembre 2005 à 08:39 (CET)
Tu as raison, cette phrase est en effet Européo centré. Je vais relire sous cet angle et proposer une correction, si tu en vois d'autres n'hésite pas à corriger ou à communiquer.Jean-Luc W 14 décembre 2005 à 14:24 (CET)

[modifier] Ce que j'en pense

  1. Déjà, je penses qu'il serait bon d'avoir une convention sur la structure globale d'un document mathématique : je pencherais pour que les thèmes historiques soit traités dans une partie Histoire clairement définie dans tous les articles, de sorte que le lecteur sache à quoi s'attendre en passant d'un article à l'autre.
  2. D'autre part, il est amha impossible de parler de l'histoire des nombres réels depuis la préhistoire sans passer par les entiers naturels, relatifs, les rationnels, les complexes, les moyens d'écritures des nombres dans différentes civilisations et à différentes époques, tout ça pour arriver aux réels, alors que l'article est juste sur les nombres réels. Cela revient finalement à parler de l'histoire des nombres, que je m'attendrai plus à voir dans l'article Nombres, où l'on pourrait développer à l'infini et renvoyer à des articles sur les différents nombres réels, etc ... pour les propriétés mathématiques. Dans l'article nombres réels, la partie histoire devrait donc plus porter sur l'histoire de la formalisation des nombres réels et seulement réels, avec peu d'allusions aux autres nombres qui ont leur articles.
  3. Note sur les images : des mathématiciens qui ont réfléchis sur ce sujet, il y a de quoi en tapisser ma chambre. Aussi, un simple lien vers l'article qui les décrit suffirait amplement, et c'est dans les articles à leur sujet que devrait se trouver leur portrait. On pourrait par contre mettre d'une certaine manière une liste vers les mathématiciens qui ont le plus réfléchit sur le sujet.
  4. Quelques autres points concernant les tournures du style du dialogue avec les phrase à la seconde personne du pluriel : dans les conseils du wiki anglais, ils disent que ce genre de tournure doit être le plus possible évité, ainsi que celles du style il est évident que. Je n'ai rien vu sur ce dernier point dans l'article, mais si on fait une convention de style, faudra pas oublier de le mentionner.
  5. Note sur les boîtes de démonstration, etc... Elles sont amha beaucoup trop larges, et sont beaucoup trop visibles par rapport aux séparations de partie. Faudrait donc les rétrécir de sorte qu'elle ne contiennent que le minimum lorsqu'elles sont enroulées, c'est-à-dire les textes Démonstration et Dérouler, ou juste un petit symbole à la place du Dérouler, voir créer un nouveau modèle à cet effet, car le fait de prendre toute la page lorsqu'elle sont déroulées est naturel.
  6. Je ne trouve pas les appendices très pratique, et je ne vois pas à priori pourquoi on devrait les utiliser.
  7. Sur la partie liens internes, pourquoi ne pas faire juste un lien vers la catégorie Mathématique qui dans le futur sera correcte ? Les nombres réels sont liés à l'ensemble des mathématiques ou presque (là je ne sais pas trop) donc vla
  8. Sur l'introduction des notions théoriques, je pencherais pour une approche cursus, ie j'introduirais d'abord les notions compréhensibles par les collégiens, puis les lycéens, puis faq, etc... Cela permettrait une meilleure accessibilité aux lecteurs, puisqu'ils pourraient directement lire ce qui les intéressent sans pour autant être rebutés par des contenus trop approfondis et abstraits. Exemple : la dernière fois, j'ai voulu regardé un truc sur les séries dans Universalis, j'ai vite capitulé.
  9. Sinon, en introduction, il serait peut-être bon de mettre un abstract, avec une définition très rapide et intuitive (toujours le wiki anglais), puis une description générale avec des liens ou un truc comme ça, avec un contexte historique rapide.--Xinos 14 décembre 2005 à 09:43 (CET)
  1. Je partage avec toi la nécessité de définir une structure globale. Je ne pense néanmoins pas qu'un paragraphe historique soit toujours nécessaire, particulièrement pour les articles techniques comme espace topologique ou construction des nombres réels. Nous risquons de devoir nous contenter de plusieurs structures globales.
  2. Tu mets le doigt sur une mésinterprétation qui semble être fréquente sur le sujet de l'article: des nombres en général ou des nombres réels. J'ai fait le choix des nombres réels uniquement pour deux raisons. Tout d'abord, il existe de nombreux articles dans Wikipédia sur l'histoire des nombres en particulier sur la numération, ensuite l'article deviendrait trop vaste à mon goût si l'on traite de tout les nombres. Pour la petite histoire l'ordre c'est fraction puis complexe puis relatif puis réel. C'est rigolo mais cela ne correspond pas à l'ordre que nous avons appris à l'école. Les entiers ne font pas parti de l'histoire mais de la préhistoire, les fractions apparaissent avec l'écriture.
  3. Pour les illustrations, je ne serais pas loin d'être de ton avis, mais la communauté penche pour l'opinion inverse. Tu devrais lire les commentaires sur les rejets d'articles de qualité. Sur la liste des mathématiciens qui ont contribué au sujet, je me demande si tu as raison, je ne les ait pas choisi au hasard, si tu penses à des oublis importants citent m'en quelques uns, nous pourrons alors pousser plus loin l'analyse.
  4. Sur le style, il n'est pas encore assez encyclopédique et horripile certains. J'essaie de corriger de mon mieux.
  5. Sur les boites de dialogues, nous sommes d'accord mais je ne sais pas faire. Peux tu contribuer?
  6. Sur les appendices, je partage ton opinion.
  7. Ce n'est pas si simple, elle est divisé en 28 sous-catégories avec au total des centaines d'articles à chercher dans les sous catégories, ce n'est pas simple un système de lien simple semble très demandé par la communauté.
  8. Je partage avec toi l'idée de cursus, mais si ma mémoire est bonne, tu n'as rien sur les nombres réels avant la terminale. C'est surement plus frais pour toi et si j'ai tort alors nous devrions être capable d'améliorer. J'ai essayé une approche en escalier avec un historique avec les grandes idées et un ordonnancement de la partie plus technique en fonction de la complexité. approche axiomatique d'abord (niveau terminale) puis topologie et cardinaux (1er année supérieur) et il faudrait finir par la théorie de la mesure avec mesure de Haar et analyse non standard avec des math un tout petit peu plus élevées. J'ai souffert du même syndrome que toi avec l'universalis.
  9. En intro je pense que le sujet clé est la différenciation entre la problématique des nombres réels et des nombres en général qui semble une confusion fréquente à cet égard à propos de l'article. A mon sens l'article anglais fait la confusion, dans ce cas l'article perd ton son sens car je n'évoque que la problématique de la complétude.
En conclusion nous sommes d'accord sur tes points 1 4 5 6. Je suis d'accord avec ton point 7 mais je ne sais pas faire mieux. Pour moi le plus important c'est l'intro, elle manque. T'ai je convaincu sur les autres points? Jean-Luc W 15 décembre 2005 à 00:31 (CET)
  1. Je reste sur mon opinion. Les notions mathématiques ont toutes une histoire. Les notions mathématiques ne sortent pas d'un chapeau, mais son le fruit d'une réflexion intense d'un groupe plus ou moins grand de mathématiciens. Pour rester sur l'exemple des espaces topologiques, on peut se poser les questions suivantes : Quels sont les mathématiciens qui sont à l'origine de cette notion ? D'où vient le mot topologie ? Où la notion est-elle apparue ? Et quand ? A mon avis, il y a presque toujours moyens de faire une partie Histoire, même pour les notions de haut niveau et relativement récente.
  2. Mouais. Je sais pas trop. Faudrait voir ce qu'en pense les autres. Je n'ai pas assez étudié le sujet pour pouvoir juger correctement. Ok. J'ai enfin capté. M'en aura fallu du temps !!!
  3. Ah ben si la communauté penche pour l'inverse. J'ai juste trouvé qu'il y avait un peu beaucoup d'images, ce à quoi je ne m'attends pas dans une encyclopédie classique (notamment du fait du poids du papier entre autres), c'est pour ça que ça m'a choqué. Je n'y connais pas grand chose sur l'histoire des mathématiques, donc je ne saurais te dire si t'en as oublié.
  4. Alors sur ce concerne le style, j'ai juste mentionné ça dans l'optique d'une convention éventuelle où il ne faudra pas oublier de le dire.
  5. Pour les boîtes de dialogues, il suffi(ra) de demander un nouveau modèle qui répond aux éxigences.
  6. Comme ça on est d'accord.
  7. L'avis de la communauté prime.
  8. Il en va évidemment de même pour les espaces topologiques ou d'autres notions très complexes. L'idée est que le lecteur néophyte puisse trouvé le type d'information qu'il cherche aussi rapidement qu'un professeur de mathématiques. Par exemple, on pourrait afficher le niveau d'étude requis, ou les notions nécessaires à la compréhension de l'article.
  9. Ok --Xinos 15 décembre 2005 à 18:26 (CET)

[modifier] Définition axiomatique

Quelle est exactement la définition axiomatique de R? Dans mes souvenir c'est "R est un corps commutatif, archimédien, complet. Ce qui semble être dit dans l'introduction du chapitre "propriétés de R". Si c'est bien le cas, pourquoi parler de la borne supérieure et de totalement ordonné dans le paragraphe sur l'approche axiomatique ?

Tes souvenirs sont exacts, il existe une équivalence entre l'axiome de la borne supérieure et de complétude. De plus tout corps totalement ordonné est archimédien. Archimédien est une propriété plus forte que totalement ordonné, c'est pourquoi je l'ai choisi, la tradition dans une définition axiomatique est de prendre la formulation la plus générale et donc la plus faible. Dans l'introduction j'ai repris les propos de Hilbert, dans la définition je me suis fondé sur le grand Nicolas. Si ma réponse ne te semble pas convaincante, modifie ou fait moi signe. Si ma mémoire est bonne, les écoliers apprennent tous ta définition, qui peut apparaître comme un argument contre Nicolas qui à mes yeux est parfaitement valable. Jean-Luc W 14 décembre 2005 à 23:39 (CET)

[modifier] Images

Pour bien faire comme il est écrit dans Wikipédia:Merci pour les photos, j'ai créé la figure Image:Carré pour nombre réél.svg d'après Image:Carré pour nombre réel.jpg (format SVG à la place de JPG. Prix à payer : une faute d'orthographe dans le titre de l'image, mais je ne sais pas comment faire pour renommer l'image :o). Si celle-ci vous semble correcte, elle peut être utilisée dans l'article. Autrement, il est possible d'y apporter des corrections simplement. Je travaille maintenant à faire de même pour Image:Contre_exemple_Rolle.jpg. Enfin, je trouve que l'image Image:DroiteR1.png gagnerait à être retravaillée pour améliorer la lisibilité du texte. On pourrait aussi envisager d'utiliser cette image disponible sur Commons : Image:Real_number_line.svg. Wiz ¨ 15 décembre 2005 à 01:23 (CET)

Et voici Image:Contre exemple Rolle.svg. Wiz ¨ 15 décembre 2005 à 02:05 (CET)

Super cool, je garde l'image disponible que tu cites pour l'intro. Enfin si tu as d'autres idées... Jean-Luc W 15 décembre 2005 à 07:14 (CET)

Je corrige la faute d'orthographe, et je te la colle dans Image:Contre exemple Rolle bis.jpg. Un jour il faudra bien que tu m'apprennent à faire des svg c'est plus joli et surtout pour léger. Jean-Luc W 16 décembre 2005 à 14:17 (CET)
C'est vrai que le svg est plus adapté pour les figures de l'article. Pour les créer, j'ai utilisé Inkscape. Il est simple d'emploi et plutôt bien pensé. J'ai essayé aussi OpenOffice.org Draw qui m'a paru moins pratique.
Quant à la faute d'orthographe, je n'ai pas bien compris ton message (lien rouge ci-dessus). En fait, c'est bien moi qui ai commis une faute dans le titre de Image:Carré pour nombre réél.svg :o) Il faudrait la renommer en Image:Carré pour nombre réel.svg, mais à part supprimer/recréer, je ne vois pas comment faire ... et ça n'a pas énormément d'importance :) Wiz ¨ 16 décembre 2005 à 23:18 (CET)

[modifier] tentative d'allègement

Suite aux discussions sur cette page, et aux discussions figurant sur la page de Jean-Luc W, je vais tenter un allègement de l'article. Il me semble que doit se dégager dans la partie historique la mise en place des fractions et le caractère incomplet de cet ensemble. Il ne me semble pas opportun que cet article deviennent une histoire des nombres même si un renvoi vers des articles existants ou futurs doit s'envisager.

Je verrai bien un développement en 3 parties de la partie histoire

  • 1. Mise en place des fractions et correspondance avec des longueurs
  • 2. Les problèmes de complétude (irrationnalité de racine de 2, écriture décimale illimitée non périodique, convergence de série et suite, calcul infinitésimal)
  • 3. Les solutions

Il reste que l'officialisation des nombre négatifs et la droite réelle casse cette organisation car il s'agit d'un problème et d'une solution partielle.

Je me laisse encore quelques jours de réflexion en attente de vos commentaires HB 21 janvier 2006 à 11:47 (CET)

travail effectué. Maintenant, j'ai encore deux envie
  1. supprimer le tableau de liens internes qui fait double emploi avec le portail mathématique et les liens internes wikifiés en cours d'article ( j'attends votre avis sur la question)
  2. proposer l'article dans la section article de qualité (mais il faudrait pour cela que déjà les personnes intéressées par cet article fignolent le travail, allègent éventuellement le style, corrigent les fôtes d'ortograf qui traînent.

HB 26 janvier 2006 à 15:17 (CET)

[modifier] Paradoxes de Zénon

Les paradoxes de Zénon ont évidemment leur place dans cet article, mais je me demande si le choix de les mentionner dans nombre réel#La solution est plus riche que prévue est le meilleur. Je les avais, ailleurs, vus présentés lorsqu'il était question de la convergence de séries. Que penser de cette présentation-ci ? Gene.arboit 18 février 2006 à 03:13 (CET)

Les paradoxes de Zenon sont multiples (voir l'article, en particulier l'histoire de la flèche) et certains d'entre eux sont résolus par les convergence des séries et d'autres par le peaufinement du calcul infinitésimal. Je pense que c'est en pensant au second aspect que Jean-Luc W y fait allusion dans cette partie. Je pense donc que l'on peut faire allusion aux paradoxes (a) dans la partie sur les séries, (b) dans celle sur le mouvement (c) nullepart. Comme l'article me parait bien structuré comme cela, je préfère le laisser tel quel mais si tu penses arriver à le modifier sans le destructurer ne te gène pas. HB 18 février 2006 à 09:51 (CET)
Je vais y réfléchir ; merci de vos commentaires ! Gene.arboit 18 février 2006 à 19:14 (CET)

[modifier] Ajout d'un paragraphe

"Les nombres réels dans la vie de tous les jours". Je pense que ça répondra aux principales critiques formulées par Arnaudus. Il est assez difficile de faire remarque que les réels que l'on utilise au quotidien, sont surtout des entiers, et quelques rationnels, mais je pense qu'il faut insister là dessus, car les remarques faites prouve que ce n'est pas vraiment compris.

Je pense qu'il manque aussi une petite section sur les nombres réels qui ont posé de réels problèmes en nombre (pi,e, 0, -1, nombre d'or ... ) ? Mais est ce que c'est sur cette page qu'il faut le mettre ?

[modifier] "Les nombres réels dans la vie de tous les jours"

Il me semble que ce paragraphe est à mettre en DEBUT d'article. Il aide à comprendre le concept intuitivement ?

C'est là que j'avais commencé à mettre l'information qui y a été transférée. Moi aussi, il me semble que là meilleure place est tout de suite après l'intro. Des objections ? Gene.arboit 24 février 2006 à 15:50 (CET)
Apparement non... Je pense qu'on peut le déplacer v_atekor 24 février 2006 à 16:52 (CET) fait: Oui Oui v_atekor 24 février 2006 à 17:08 (CET)

[modifier] "Les nombres réels dans la vie de tous les jours" (bis)

Ce paragraphe n'est pas bon du tout. La vulgarisation est beaucoup trop poussé (les nombre négatifs, c'est pour allez au sous-sol, et les nombre rationnels, c'est pour couper un gâteau). Ce paragraphe n'apporte vraiment rien à l'article. L'historique fait en revanche très bien sentir au lecteur ce que sont vraiment les nombres réels. On notera quelques phrases qui n'ont pas leur place ici :

  • tels que les nombres transcendants utilisés pour satisfaire l'appétit des mathématiciens
  • Bien que les nombres réels aient pour objectif initial de représenter n'importe quelles grandeurs physiques

Selenite 26 février 2006 à 11:47 (CET)


Ces deux phrases ont effectivement été modifiées à la fin du paragraphe. Par contre, il faudrait que les détracteurs s'entendent : entre Arnaudus qui reproche le manque de vulgarisation, et Selenite qui reproche son excés, il faudrait arriver à une position commune.
Voici ma position : je veux bien que l'on vulgarise, mais à condition qu'aucune virgule du contenu actuel ne soit supprimée. L'article est très bien fait (pour un lectorat averti, j'en conviens), et très riche. Il ne faut pas perdre ce qu'il contient. Ainsi, je reprend la proposition qui a déjà été faite, à savoir la scission de l'article. L'un présentera de manière vulgarisée et informelle (on pourra évoquer les gâteaux, les sous-sols, les bonbons, etc.) les nombres réels. On y verra la droite des réels, des choses amusantes comme 0.9999... = 1, et surement une définition à partir de la droite des réels (c'est ridicule, mais bon...). L'autre présentera l'histoire des réels, en passant par les constructions des réels aux définitions axiomatique. Cette fois ci, l'article ne visera pas la vulgarisation mais une rigueur minimum. Une dernière fois, je demande à ce qu'il n'y ait aucune perte de contenu dans les opérations. Merci d'avance. Selenite 27 février 2006 à 18:40 (CET)
Est ce que le découpage en 2 parties de l'article peut être fait en faisant 2 chapitres (comme c'est le cas actuellement). Il y a un article "construction des nombres réels" qui a une approche formelle ? v_atekor 28 février 2006 à 15:52 (CET)
L'article construction des nombre réel est un article de définition : il ne fait pas sentir ce que sont les nombres réels comme le fait l'historique. Le second article que j'ai souhaité dans ma précédente réponse n'est donc pas substituable à l'article Construction des nombres réels. Ce dernier présente les définitions possibles des réels, l'autre traiterait du chemin qui a mené à ces définitions. Pierre Lairez 28 février 2006 à 17:58 (CET)
Pour avoir fait le test de faire lire à 4 personnes sans notion de "mathématiques avancées" (math. niveau 2nde, mais avec un enseignement universitaire), aucune n'a pu atteindre la fin de l'article, et aucun n'a compris les différences entre réels et rationnels sans ce premier paragraphe. Sur 4, 3 ont conclu à la définition réel=irrationnel=nombre à développement décimal infini. Exemple donné : 1/3. Avec ce premier paragraphe, certaines choses sont revenues dans l'ordre, même si je ne pense pas qu'elles aient tout compris (notament au niveau de la continuité). L'article de vrai vulgarisation initial est indispensable, et l'illusatration partage d'un gâteau (en parts égales)=rationnels est indispensable. Et je pense qu'il faudrait d'autres exemples. (par ex. 2.99999... =3 ). Les approches vulgarisation/historiques/formelles sont toutes indispensables, mais pas à tous les lecteurs. v_atekor 27 février 2006 à 10:38 (CET)
Ok pour les deux phrases, je les revois.

[modifier] Elucubration

Je vous livre une réflexion personnelle sur la question de la dénombrabilité. J'ignore s'il est judicieux de la considérer (et alors sous quelle forme) ou s'il vaut mieux ne pas en faire mention dans l'article. Je pense qu'elle peut, aposteriori, éclairer la difficulté qu'il y a à faire le saut dans les réels.

L'idée est la suivante : il n'y a que très peu de nombres réels qui soient « exprimables ». Pour désigner un réel particulier, le mathématicien utilise des phrases du genre « la racine positive de l'équation x^2-2=0 » ou « l'intégrale du logarithme entre 1 et 2 » etc... Comme on n'utilise qu'un nombre fini de symboles pour écrire un message de ce genre, et qu'un tel message a une longueur finie, l'ensemble des messages possibles est dénombrable. Ainsi il y a

  • une quantité dénombrable de réels que les mathématiciens peuvent désigner
  • une quantité indénombrable de réels que personne ne pourra jamais montrer du doigt. Le « nombre réel générique », en quelque sorte n'existe pas...

Avez-vous déjà rencontré ce genre d'idées ou une variante ? si oui quel nom cela porte-t-il ? Je suppose que pour une vraie présentation mathématique il faut abandonner les langages humains pour des modélisations plus sérieuses (algorithmes, automates et autres trucs impigeables...) Peps 11 mars 2006 à 22:12 (CET)

Je pense qu'à ce point-ci, on parle de Nombre transfini. Il serait en effet bien de les introduire dans l'article... il n'y a pour le moment qu'un lien en bas de page «  en rapport avec la notion de nombre »... En fait, je me rends compte maintenant que dans la section nombre réel#Cardinalité, tout ceci est introduit, mais en effet, on pourrait développer avec les automates, les langages récursifs, etc. Gene.arboit 11 mars 2006 à 23:32 (CET)
Je ne suis pas sur que la problématique soit avant tout celle des nombres transfinis mais plus celle de la logique. Ce genre d'idée n'est pas une élucubration mais une des idées qui fondent la logique moderne. L'ensemble des nombres 'accessibles' est dénombrable alors que les réels ne le sont pas. Les premiers mathématiciens qui ont travaillé sur cette question sont Hilbert et Kantor. Elle débouche droit sur les travaux de Zermelo et Zorn. Les nombres transfinis sont une conséquence d'un nouveau formalisme. Je n'ai fait qu'introduire tout ceci car il me semblait que l'on s'éloignerait un peu trop du sujet. Si l'on introduit les automates, on est à mon sens un peu condamné à introduire les problèmes N P complets. Il faudrait donc introduire d'abord la logique, l'axiome du choix puis les pb NP complet, voilà pourquoi je n'ai qu'introduit le sujet. Jean-Luc W
Donc « l'article détaillé » pour cette section ne devrait pas être nombre transfini, mais plutôt histoire de la logique moderne ou qqch. comme ça ? Gene.arboit 20 mars 2006 à 02:13 (CET)
Je suis d'accord avec ta conclusion. De plus elle est en phase avec la rédaction actuelle de Wikipedia, l'anayse non standard est présenté comme une complétion de la base axiomatique classique donc une extension d'une problématique logique, ce qui est d'ailleur la présentation la plus naturelle.Jean-Luc W 20 mars 2006 à 12:49 (CET)
Une variante de cette notion de 'désignable', c'est ce qu'on appelle nombre calculable, et on aborde là les machines de Turing, la complexité. Je ne sais pas si c'est ce que Jean-Luc désigne par logique moderne. FrançoisD 21 mars 2006 à 12:13 (CET)

Par logique moderne je fais référence aux travaux qui fondent la théorie des ensembles qui démarre par le formalisme de Nicolas Bourbaki et qui s'enrichiront par des concepts comme l'axiome du choix avec les théorèmes de Zorn et Zermelo, le théorème d'incomplétude de Gödel ou l'analyse non standard.Jean-Luc W 21 mars 2006 à 12:23 (CET)

Il me semble qu'il serait bien d'ébaucher où tout ça s'en va ou, autrement dit, quel devrait être « l'article détaillé » pour la section Cardinatité... Est-ce qu'on veut bien histoire de la logique moderne ? On n'a pas encore d'histoire de la logique non plus, comme les anglophones l'ont (en:History of logic), mais on a Logique et Logique mathématique. Si on veut commencer par "copier" les Anglais, je peux faire une traduction rapide de History of logic... Qu'est-ce qui est préférable ? Gene.arboit 21 mars 2006 à 14:58 (CET)
Tu poses les bonnes questions, il y a de quoi faire un article magnifique. amha, la logique doit être traitée dans son ensemble, se limiter à la logique moderne c'est perdre la capacité d'expliquer pourquoi on en est arrivé là. Quelques remarques préalables: le tournant du début du XXeme siècle voit une véritable révolution dans la pensée, la vérité (au sens ou l'entendait Platon) s'éffondre en mathématique la prédictabilité disparaît en physique. En philo Nieztsche a détruit la transcendance juste avant et si l'on pousse le bouchon plus loin avec Freud l'homme n'est plus le maître dans sa propre maison. En bref, le tournant du XXeme début du vingtième siècle est une remise en cause du vrai dans un sacré domaine. Eviter la philo serait à mon sens une grave erreur. Deuxième remarque, les anglais ont fait un bon travail de dictionnaire, ils ont essentiellement cités l'origine des apports sans véritablement en expliquer le sens ni en comment ces dits apports s'imbriquent. Enfin, il y a la montagne du XXeme siècle. Sur la partie mathématique je comprend à peu prêt les idées de Hilbert Cantor Bourbaki Zorn Zermelo Gôdel ou Robinson sur la logique, mais j'avoue avoir une vrai lacune sur la philo et même Husserl qui est à cheval sur les math et la philo, pour tout dire, je suis même plutôt une bille. Je propose d'abord la création d'un plan qui changera au moins douze fois mais qui permettra de structurer nos idées, si cela te convient je réfléchis là dessus et je te propose quelque chose d'un peu plus sophistiqué que les anglais?Jean-Luc W 21 mars 2006 à 15:37 (CET)
Je suis tout à fait pour l'idée d'attendre vos avis... et ceux des autres aussi. :-) Gene.arboit 21 mars 2006 à 16:11 (CET)
J'ai commencé à regarder un peu cette histoire, j'imagine maintenant les grands pans de la manière suivante:
Aristote et Euclide pour le moyen age, l'un développe une logique presque ensembliste (pas au sens moderne) relativement riche mais pas suffisamment opérationnel pour servir réellement les mathématiques. L'autre formalise par de la géométrie comme base axiomatique et développe un vocabulaire comme axiome, postulat, hypothèse, proposition de manière pragmatique et un peu naïve avec notre recul.
Le moyen-age développe toute une logique essentiellement fondée sur Aristote et un peu arabe avec des gens comme Averoes, mais pour l'instant je n'ai pas encore compris les finalités si ce n'est que cela n'a pas l'air de concerner beaucoup les mathématiques. (Et je fais peut-être une énorme bourde).
Fin du moyen-age, les mathématiques s'autorise alors une démarche non logique au sens d'Euclide, Cardano utilise des nombres imaginaires dans des calculs intermédiaires et le justifie par le résultat qu'il vérifie a posteriori. Le calcul différentiel quitte carrément la notion de logique formalisée, les calculs fonctionnent parceque le résultat a une bonne tête. Ce qui largue une majorité de mathématicien qui ne retrouvent plus leurs petits. Avec Newton, il ne sera plus possible de refuser ce nouvel état ou les mathématiques n'ont jamais été aussi loin de la logique.
Le XIXeme réconcilie avec Hilbert la logique et les mathématiques avancées Hilbert mais fin à ce qu'il qualifie de maladie infectieuse. La notion d'axiome prend un nouveau tournant (définition axiomatique d'un concept et base axiomatique d'une mathématique sont deux notions relativement différentes).
La réconciliation est de courte durée Cantor sème la pagaille en modifiant inconsciemment la base axiomatique. Dans le même temps il met le doigt sur des propositions indécidables (qui ne pourront être résolus qu'avec une compréhension de la logique plus profonde).
La logique ne devient plus logique. La logique qui reflétait essentiellement une évidence intuitive, s'ouvre à des paradoxes comme celui du menteur ou de l'ensemble de tous les ensembles. Husserl montre que la logique ne peut pas être cette base intuitive que tout le monde accepte.
Les mathématiques sont devenus un fatras inextricable, la base axiomatique définie par Euclide et complété par Hilbert pête de partout. Nicolas Bourbaki, reconstruit toutes les maths sur une nouvelle base logique, la théorie des ensembles. Il est alors admis que la logique n'est plus une transcendance fondée sur une base d'axiomes intangibles obligatoires et éternelle mais Nicolas en choisi une et demi (il indique toujours quand il utilise l'axiome du choix).
La logique gagne en relativité avec Gödel, les propositions ne sont plus vrais ou fausses mais aussi indécidables. On peut ajouter autant d'axiomes que l'on veut et monter des logiques différentes avec des axiomes contradictoires.
La logique devient une des bases d'une nouvelle science, l'informatique. Elle contient probablement la base d'un des grands problèmes de notre temps, les N P complêts. Et on est toujours loin de pouvoir résoudre le pb du voyageur de commerce même si l'on pense maintenant qu'il est indécidable.
Une base axiomatique remet au goût du jour les vielles méthodes de calcul diff de manière rigoureuse, c'est l'analyse non standard, on démontre simplement et de manière élégante les vieux résultats, mais à ma connaissance, on a encore cassé aucun théorème majeure avec ces méthodes.

En en oubliant la moitié Fedge par exemple, en négligeant la philo pourtant omniprésente, voilà un premier jet. Conclusion, l'article se promet d'être passionnant et surement encore plus riche et plus complexe que les nombres réels. Jean-Luc W 22 mars 2006 à 14:05 (CET)

J'ai ébauché histoire de la logique. J'espère que je n'ai pas fait trop d'erreurs... mais, bon, ça dit bien « ébauche » deux fois. Gene.arboit 24 mars 2006 à 03:44 (CET)

[modifier] Les nombres réels dans la vie de tous les jours en science

Trois éléments de gènent un peu dans la rédaction actuelle. Tout d'abord, l'idée de mesurer le périmètre de l'univers me semble relever d'une conception classique et non relativiste et qui ne fait donc pas grand sens (au moins sans une explication précise). Je comprend que l'on puisse en donner une définition précise du rayon, mais j'ai quelque doute pour le périmètre. Quand à le mesurer avec la précision de la taille d'un atome d'hydrogène cela n'a pas beaucoup de sens physique.

Sur la mesure des grandeurs, la précision des réels est maintenant largement inutile en physique. L'exemple de la droite dessinée sur une feuille de papier montre qu'une rêgle avec suffisement de graduations fait toujours l'affaire. Même en physique théorique, une rêgle graduée qui représente finalement bien l'idée intuitive de décimal suffit, puisqu'une précision infinie ne fait pas sens et pour Feynman ne fera probablement jamais sens. Si l'idée est exprimée, elle ne me semble pas précise et choque un peu mon sens de la rigueur.

Enfin, si pour la mesure des grandeurs, la précision des réels est inutile, en revanche, les propriétés topologiques des réels sont indispensables aux modélisations physiques. La physique a besoin de l'existence de solution à la problématique que représente la surface d'un cercle même si elle n'a que faire d'une précision infinie dans la réponse, une précision finie et aussi grande que l'on souhaite est suffisante.

En bref, je ne trouve pas la rigueur que les mathématiciens affectionnent dans ce paragraphe. Je comprend aussi que certains peuvent penser qu'apporter de la rigueur dans ce paragraphe risque de le rendre peu compréhensible pour tout un public. Si personne ne s'oppose à ma vision, je propose une réécriture de ce paragraphe, mais je n'en fait pas une affaire d'état.Jean-Luc W 20 mars 2006 à 01:47 (CET)

Peut-être en opposant ce que l'intuition dicte (précision sur les mesures) et les propriétés vraiment utiles des réels en physique moderne (laquelle peut être contre-intuitive) ? Gene.arboit 20 mars 2006 à 02:18 (CET)
Cela amène deux idées, la première idée repose sur le fait que pour construire une théorie de la mesure, il est nécessaire de pouvoir donner un sens à la surface d'un cercle, indépendamment de la notion de précision. Il serait fort difficile de construire une physique sans cette propriété. Pour le reste, une précision infinie de pi n'intéresse pas les physiciens. La deuxième est largement plus subtile, la physique, si elle condamne la notion de précision infinie suppose des propriétés topologiques. Sans entrer dans la complexité de la constante de Planck ou dans l'electromagnétisme, la théorie de Newton suppose la pertinence du calcul différentiel. Ce que j'ai essayé d'expliciter dans l'article. La constante de gravitation (en théorie classique) suppose donc comme cadre de la théorie le corps des réels, en revanche cette constante qui ne peut avoir une précision infinie s'exprime parfaitement dans l'anneau des décimaux. Expliciter rend l'article parfaitement rigoureux, mais va totalement larguer un lecteur comme Peps, qui, comme l'immense majorité des lecteurs, ne dispose comme fondement théorique sur la compréhension de la mesure, que d'une conception couvrant un degré de compréhension déjà assimilé dans le monde antique. Nous allons alors être taxé de libido minoritaire vis à vis des coléoptaires largement cités dans les polémiques.Jean-Luc W 20 mars 2006 à 08:41 (CET)
J'ai reformulé un petit peu tes modifications pour les rendre plus simple à comprendre (Enfin, j'espère que c'est le cas et que je me suis pas trop éloigné de ce que tu voulais dire). Est-ce qu'il faut introduire quelque par la théorie de la mesure? Au moins donner un lien vers Lebesgue? Est ce qu'un paragraphe disant (informellement) que les entiers et rationnels sont "rares" avec les quelques notions de topologie qui sont encore intuitives (Rareté, densité, fermeture)  ?? v_atekor 21 mars 2006 à 10:07 (CET)

Habituellement c'est du périmètre de la galaxie et non de l'univers dont on parle… Je crois que cette phrase n'a jamais été qu'une boutade critiquant les recherches inutiles de décimales de Pi.

Je ne suis absoluement pas d'accord avec les dernières modifications faites sur le premier paragraphe faites par Utilisateur:DYLAN_LENNON. Ce paragraphe a été écris dans une optique de vulgarisation pour répondre aux critiques de différents lecteurs. Pire l'ajout fait (puis supprimé) sur les nombre décimaux est faux. Je ne sais pas si il s'agissait d'une plaisanterie de 1er Avril, mais c'est mal venu. v_atekor 3 avril 2006 à 10:36 (CEST)
L'avantage des maths, c'est qu'au moins il est difficile de polémiquer sur le vrai ou le faux. Maintenant deux erreurs dans une même phrase, c'était plutôt mignon, 0 n'a qu'une une unique représentation décimal, et à ma connaissance c'est le seul décimal à avoir cette propriété. Jean-Luc W 3 avril 2006 à 13:49 (CEST)
Tu parles de mes modifs, non ? (Utilisateur:DYLAN_LENNON n'a rajouté qu'une phrase en anglais qui a été supprimée) R 3 avril 2006 à 18:28 (CEST)
Non R, je parle des modifs de Utilisateur:DYLAN_LENNON. Je ne suis pas sur que les tiennes améliore vraiment l'article, mais elle ne sont pas fausses. Sur les suppressions des phrases type monter au troisième étage, je comprend que cela puisses te gêner pour un AdQ. pour la modif sur l'utilisation en physique de la constante Pi, je n'ai pas trouver de fonction plus simple qui utilise un transcendant. Maintenant c'est vrai qu'une référence à Heisenberg au début, ce n'est pas subtil. Tu ne m'as pas dit si la nouvelle formulation te plaisait sur les réels pour la science et si la partie philo te convient? Jean-Luc W 3 avril 2006 à 18:37 (CEST)
Arf ! Je répondais à v_atekor, en fait... Pour les réels en science, c'est indubitablement mieux qu'avant. Je ne trouve pas que la section soit parfaite, mais je n'arrive pas à identifier ce qui me gêne. Disons donc que c'est satisfaisant. Pour la philo, c'est pas mal, mais il manque tout de même une perspective actuelle sur le problème (exemple de question intéressante et actuelle : les réels qu'on ne peut définir existent-ils ? - il y en a surement d'autres mais je ne connaît pas vraiment le sujet).
Pour l'exemple, on peut tout simplement parler du périmètre d'un cercle - je pense que c'est ce qu'on peut faire de plus simple pour faire intervenir pi et ça intervient très souvent en mécanique. R 3 avril 2006 à 20:27 (CEST)
C'est vrai, et c'est plus adapté. Pour l'existence des réels, la question est maintenant tranchée, elle n'appartient pas à la philo, mais à la logique. Et la reponse est ... c'est selon. En fait cela dépend de l'acceptation de l'axiome du choix. T'estimes tu capables de réaliser un choix aléatoire? Si oui alors ils existent dans tous le sens du termes, mais tu dois accepter les conséquences, par exemple tu peux découper la boule d'unité 1 en dimension 3, et la recomposer de telle manière à faire 2 boules Paradoxe de Banach-Tarski (évidemment sans dilatation), si tu refuses l'axiome du choix tu peux en prendre un autre qui va par exemple te dire que toute partie des réels est mesurable (c'est un choix qui a ses avantages). Jean-Luc W 3 avril 2006 à 21:05 (CEST)

[modifier] Question dans l'Oracle

Quelqu'un est-il en mesure de répondre à ceci ? Merci --VARNA 23 avril 2006 à 21:13 (CEST)


[modifier] Associés à des grandeurs physiques

"tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques." L'impédance d'un dipole équivalent à un circuit de bobines, résistances et condensateurs, l'amplitude complexe d'une onde électromagnétique, etc... Ne sont pas des grandeurs physiques ? Il faudrait expliciter ce que l'on entend par "grandeur physique". Léna 9 mai 2006

Ta remarque est pertinente, un physicien parlera de grandeur complexe, car grandeur est devenu synonyme de nombre. La difficulté est que nous sommes en début d'article, l'essentiel de nos lecteurs ne savent donc pas réellement ce qu'est un circuit électrique et n'a pas connaissance des travaux de Maxwell. Entrer à ce niveau là de l'article dans ce type de considération ne me semble pas pertinent à cause de cela. Je propose donc de remplacer grandeur par mesure. Cela évite d'entrer dans le débat et au sens strict du terme (cf théorie de Lebesgue) une mesure est définie avant tout pour les nombres positifs (et ensuite généralisée à Rn. Dans ce contexte, nous sommes donc protégés et il existe une interprétation non polémique et exacte de la phrase. Cela te convient-il? Jean-Luc W 10 mai 2006 à 08:58 (CEST)

Cela me parraît être un bon compromis entre rigueur et simplicité. J'approuve donc. Léna 10 mai 2006 à 09:20 (CEST)

[modifier] présentation de 4

Chez moi le titre du 4 (définition axiomatique ...) apparati mal dans le sommaire.(le symbole de l'ensemble des réels) Est-ce que c'est pareil pour tout le monde.--Sylvain d'Altaïr 12 mai 2006 à 21:28 (CEST)

non il ne devrait pas y avoir de problème, ce sont des images. Oxyde 12 mai 2006 à 23:37 (CEST)
Chez moi il n'apparaît plus. Jean-Luc W 13 mai 2006 à 10:02 (CEST)

[modifier] Eloge de la notion de « développement décimal infini

Je déplace ici le paragraphe qui avait été introduit pour le reformulé. Il a été introduit sans concertation, il faut discuter de la pertinence d'un tel paragraphe avant de l'introduire. v_atekor 14 décembre 2006 à 15:30 (CET)


Eloge de la notion de « développement décimal infini »

Ce paragraphe n'est pas, évidemment, une polémique contre les développements du paragraphe qui précède.     
En mathématiques comme dans la vie quotidienne, certains défaut peuvent devenir des vertus.      

* Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base  10.     
:: En fait la base 10 ne représente aucun intérêt particulier. les bases 2 et 3 notamment          
sont très intéressantes.         

   * Certains nombres possèdent deux représentations.       
        :: Mais on les connait : en base p, ce sont les nombres de la forme \frac{a}{p^k}\,.     
        Ils forment un ensemble dénombrable, et donc de mesure nulle.    
                 
        Plaçons nous en base 2.   
        L'application de d:\{0,1\}^\N \rightarrow [0,1] qui associe          
        à (\epsilon_n)_{n\ge 1} le nombre \sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{2^n}        
        est continue surjective, mais certainement pas bijective. Mais elle est un isomorphisme          
        d'espaces mesurés entre \{0,1\}^\N\,, vu comme espace des épreuves du jeu de pile ou face, et [0,1]\, muni de la mesure de Lebesgue.     
                 
        Plaçons nous maintenant en base 3.        
        L'application qui au même (\epsilon_n)_{n\ge 1} associe le nombre    
        \sum_{n=1}^\infty\frac{2\epsilon_n}{3^n} est maintenant injective (mais pas surjective).     
        C'est en fait un homéomorphisme sur l'ensemble de Cantor K_3\,, que nous noterons h\,.         
        Alors d\circ h^{-1}\, est une application continue de K_3\, 
       sur [0,1]\,.   
        D'autre part, en associant à (\epsilon_n)_{n\ge 1}   
        les deux suites (\epsilon_{2n})_{n\ge 1} et (\epsilon_{2n-1})_{n\ge 1}, on obtient       
        un homéomorphisme de \{0,1\}^\N\, sur \{0,1\}^\N\times \{0,1\}^\N\,.     
        En mettant tout cela ensemble, on obtient une surjection continue de K_3\, sur [0,1]\times [0,1]\,, qui se prolonge (par linéarité par exemple) en une   
        surjection continue de [0,1]\, sur [0,1]\times [0,1]\,.          
                 
        Venons-en à la troisième critique, la plus solide, l'impossibilité d'un algorithme pour          
        l'addition et la multiplication dans ce cadre.   
        C'est vrai, et c'est la raison pour laquelle on introduit les nombres réels avec         
        les coupures ou les suites de Cauchy (chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients), jamais  
        avec les développements illimités.       
                 
        Et si on faisait les retenues de l'addition et de la multiplication en commençant par le début.         
        La tout marche très bien, sauf que l'on n'obtient pas \R\,, mais,    
        pour p premier, les entiers p-adiques !

Bonjour Utilisateur:Jaclaf, j'ai supprimé ta contribution sur Eloge de la notion de « développement décimal infini ». Apparemment tu es nouveau sur Wikipédia, donc, la première chose à faire lorsqu'on modifie autant un article est de prévenir dans la page de discussion. Wikipedia n'est pas non plus un lieu de débat, mais une encyclopédie, s'adressant à tous les internautes. Cet article est noté "de qualité". C'est un sésame qui s'obtient après un très long processus de relecture. Ce point en particulier sur la notion de développement décimal infini a été longuement (très, très longuement) discuté. Il n'était pas question de nier l'intérêt cette notation, mais de faire comprendre pourquoi elle n'est généralement pas utilisée comme définition des nombres réels. Beaucoup de lecteurs s'attendaient à ce que les mathématiques définissent les nombres réels à partir de cette notation, il fallait expliquer pourquoi ce n'est pas le cas. Ca ne remet pas en cause la pertinance de la notation. la meilleure preuve en est l'utilisation quasi systématique qui en est faite. v_atekor 14 décembre 2006 à 15:38 (CET)

[modifier] a propos de cette suppression

a) il n'y est nullement question dans ce paragraphe supprimé BIEN AU CONTRAIRE de dire qu'il faut introduire les réels par des dev décimaux, mais simplement de dire ce qu'ils peuvent apporter je cite un extrait de la fin on introduit les nombres réels avec les coupures ou les suites de Cauchy (chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients), jamais avec les développements illimités.

le titre "eloge de..." a un coté évidemment parodique

... qui n'est pas de mise dans un article de qualité s'adressant au plus grand nombre. Je ne suis pas certains que beaucoup de lecteurs auront été à même de comprendre les développements que tu as fais.

on peu discuter du bien fondé du contenu du paragraphe mais rien ne s'oppose sur le fond à ce qui est dit par ailleurs dans l'article je suis donc surpris de l'argument "Wikipedai n'est pas un lieu de débat ..."

Le paragraphe paraissait être une réponse au paragraphe précédant.

b);je l'avais ajouté dans un article nombre réels- analyse mathématique, et me vois renvoyé pour la discussion vers un article nombre réel Wikipedia junior où bien évidemment je n'aurais pas mis cette contribution

Le problème c'est que le premier chapitre est "les réels dans la vie courante". On a essayé d'être progressif dans l'article, pour ne pas rebuter les lecteurs qui ne connaissent pas la mesure de Lebesque , les coupures de Dedekind, les suites de Cauchyet ou les DL.

c) les themes développés sont ils moins accessibles que par ex la cloture algébrique, mentionnée par ailleurs dans l'article ? j'en doute

Absolument, c'est le même niveau de difficulté. Mais l'article est progressif. Le premier paragraphe est simple, les derniers sont complexes. Le lecteur s'arrête là ou il ne peut plus comprendre.

d) peut on considérer un ajout d'un paragraphe assez bref (25 lignes) bien séparé du reste, comme une mod en profondeur d'un article de cette longueur ainse que le suggère V_atekor

Oui, surtout de sa structure générale. Le problème d'un article de qualité est de le faire évoluer sans entamer sa qualité, en particulier concernant le niveau qu'il faut pour le lire. Mais je pense que d'autres personne viendront en discuter. v_atekor 15 décembre 2006 à 13:54 (CET)

Jaclaf 15 décembre 2006 à 12:56 (CET)

d'accord avec V_atekor sur ce point : l'article a été conçu pour que toute une première partie reste accessible à un maximum de lecteurs. A ce stade, les remarques qui avaient été insérées apparaîtraient comme des "remarques pour initiés". Je ne pense pas que les AdQ soient des sanctuaires, mais il faut un minimum s'imprégner de la trame, si possible des discussions qui ont déjà eu lieu, et considérer les articles connexes qui existent. Ainsi la construction de R proprement dite est évoquée dans Construction des nombres réels Peps 15 décembre 2006 à 15:52 (CET)

[modifier] Algorithme

C'est quoi cette histoire d'algorithme pour calculer une multiplication ou une addition ? Il me semble qu'il existe des algorithmes pour calculer le produit ou la somme de deux nombres sous forme de développement décimal -je me suis même laissé dire qu'une industrie autour du calcul des décimales de Pi fonctionnait assez bien. Il en existe tout aussi bien avec la représentation sous forme de limite de suite de Cauchy. Evidemment, tous ces algorithmes souffrent du défaut qu'on ne représente pas informatiquement une infinité de données, donc on n'a que des valeurs approchées. Mais c'est, il me semble, aussi vrai avec les suites de Cauchy qu'avec les développements décimaux.

De même,l'argument sur les retenues me semble spécieux. Certes, cela implique d'aller suffisamment loin pour avoir des décimales exactes, mais on les trouve quand même. D'ailleurs, les suites de Cauchy sont beaucoup moins significatives du point de vue de la précision des calculs, puisqu'en les tronquant à un certain rang, on ne sait a priori absolument pas si celle qu'on considère ne va pas partir complètement ailleurs dès le rang suivant. Ce que ne fait pas un développement décimal.

Qu'a voulu dire l'auteur de l'article ?Salle 15 décembre 2006 à 17:35 (CET)

il me semble que tout est dans le "implique des définitions et des démonstrations bien plus complexes" et dans le se fondant uniquement sur la définition de réel comme « nombre à développements décimal infini » : si tu veux que le n ème chiffre soit coorect, il est impossible de dire qu'il suffit de connaître les deux nombres jusqu'au p ème chiffre (parce que connaître le p ème chiffre peut demander une précision 10^(-n) avec n arbitraire : si le résultat est 0,10000000(beaucoup de 0)quelque chose, quand le 1 est il garanti ?).
bref tout cela exige de posséder la notion de série, et pas seulement de formùer des algorithmes sur les suites tronquées de chiffres. Peps 15 décembre 2006 à 18:00 (CET)
Je ne comprends pas bien. Si je dis : la justification précise des algorithmes naturels d'addition et de multiplication sur les développements décimaux nécessite des considérations qui ne sont pas disponibles dans une définition purement formelle des réels comme développements décimaux, est-ce que j'exprime la même idée que l'article ? Si oui, a-t-on une preuve de l'affirmation implicite ne sont pas disponibles ? Ou est-ce juste que nous on ne sait pas faire ?
Sur ce que tu dis, si je me restreins à addition et multiplication de nombres positifs, il me semble que le seul cas où je ne sais pas garantir un certain nombre de décimales justes à partir d'un calcul sur les développements tronqués (c'est-à-dire où ton n est arbitraire, comme tu dis), c'est plutôt celui de 0,999999999... Ca ne paraît pas insurmontable. A moins que je dise des bêtises ?Salle 15 décembre 2006 à 18:57 (CET)
oui pardon, tu as bien fait de rectifier l'exemple. En tout cas on ne sait pas si on est dans un cas ou dans l'autre. Quand on dit algorithme il s'agit d'un procédé fini. Il n'y a pas de calcul général possible de la n-ème troncature à partir de troncatures d'ordre p, et ce pour tout p. Si on veut faire du calcul décimal avec un nombre de chiffres donné (info finie en sortie), l'information nécessaire en entrée est a priori infinie. Tu dis que c'est non insurmontable, ça me semble pourtant une limite de la notion (après on peut gloser sur sa plus ou moins grande importance).
il faut replacer dans le contexte d'une remarque d'Arnaudus, disant en substance, les matheux vous êtes pénibles, yaka dire réel = développement décimal illimité. Il s'agit simplement de montrer que c'est une façon correcte de voir les choses, mais qu'elle ne trivialise pas la difficulté. Après, ce paragraphe a tellement été réécrit... Peps 15 décembre 2006 à 20:34 (CET)
Bon, je tente une réécriture, parce que le passage tel qu'il est n me paraît pas exprimer correctement cette idée. Tu vérifieras que je n'ai pas dit de bêtises.Salle 16 décembre 2006 à 11:16 (CET)
Optime ! J'ai cherché patiemment, mais je ne vois rien à redire. J'espère que ça satisfera tous ceux qui ont réécrit ce passage... en cas de divergence sur une édition, laisser reposer la pâte et faire intervenir un tiers plusieurs mois après, voilà une bonne recette. Peps 16 décembre 2006 à 13:29 (CET)

[modifier] corps commutatifs

Pourquoi les corps deviennent-ils nécessairement commutatifs dans le § "Approche axiomatique",alors qu'ils ne le sont pas avant (ce qui est quand même l'usage le plus courant il me semble) ? Proz 17 mars 2007 à 18:38 (CET)

Bonne remarque, il n'est pas nécessairement commutatif, la commutativité est une conséquence de l'approche axiomatique. Il n'existe pas de corps archimédien satisfaisant à l'axiome de la borne supérieure non commutatif. Jean-Luc W 17 mars 2007 à 19:37 (CET)
 : Il est dommage que l'article ne soit pas cohérent à ce sujet. mais les mathématiciens non plus. Corps initialement commutatif quand il s'agissait de Q, ses extensions, R ou C, Corps non commutatif quand on travaille sur les quaternions. On trouve maintenant plusieurs tendances : ceux qui appelle corps tout corps même non commutatif et ceux qui appellent corps seulement les corps commutatifs et qui appellent les corps non commutatifs d'un néologisme anglicisme algèbre à division. Cette tendance n'est pas encore vraiment passée dans les moeurs (voir Google Corps des quaternion 53900 réponses, algèbre à division des quaternions 881 réponses). Comme l'article s'adresse à tous les lecteurs, la prudence voudrait que l'on précise corps commutatif (quitte à être redondant pour certains) afin d'éviter toute ambiguité. HB 17 mars 2007 à 19:42 (CET)

Je suis d'accord, je vais remettre en cohérence. Pour Jean-Luc W, tu as tout à fait raison, mais pour être honnête, ma remarque portait juste sur le vocabulaire. Proz 17 mars 2007 à 23:32 (CET)

[modifier] R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie non dénombrable

Je pense que cette information mérite de figurer dans l'article mais je ne sais pas où la mettre. HB 5 mai 2007 à 08:38 (CEST)