Moment (mathématiques)
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[modifier] Notion de moment
La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.
Soit une fonction continue sur un intervalle (non réduit à un point) de . Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de est défini (sous réserve d'existence) par :
Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.
[modifier] Problème des moments
On peut se demander si une fonction continue dont tous les moments existent est déterminée par la suite de ses moments. Cette question est appelée problème des moments.
En d'autres termes : soient deux fonctions continues dont chacune admet, pour tout entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout , peut-on affirmer que ?
- D'après un théorème de Hausdorff, la réponse est affirmative lorsque est un segment (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).
- Démonstration de ce théorème :
- La fonction est continue sur , et tous ses moments sont nuls, car pour tout , .
- On en déduit, par linéarité de l'intégrale, que quel que soit le polynôme réel ;
- en effet, si , alors .
- Or, d'après un théorème de Weierstrass, pour toute fonction continue , il existe une suite de polynômes (réels) convergeant uniformément sur vers cette fonction. Il existe donc une suite de polynômes qui converge uniformément vers sur . Alors, la suite des produits converge uniformément vers sur et il en résulte que .
- Comme est continue sur le segment , ceci prouve que , c'est-à-dire .
- Dans le cas général, la réponse est négative. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction définie par (densité de la loi log-normale), dont tous les moments existent.
- On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel , .
- Pour tout , on définit par .
- Alors : quels que soient et , , bien que dès que .
- Nota : pour tout , car . Or, si on prend , est à valeurs positives : dans ce cas, est une densité de probabilité portée par , distincte de si , dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de . Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.