Modèle du solide (mécanique)

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Le modèle du solide est fréquemment utilisé en mécanique des systèmes de points matériels. Il s'agit d'une idéalisation de la notion usuelle de corps (à l'état) solide, considéré comme absolument rigide.

[modifier] Définition

Un solide (S) est un ensemble de points matériels {M_i} dont les distances mutuelles restent constantes au cours du temps^[1].
Il convient de noter que cette définition est très restrictive et ne doit pas être confondu avec celle "d'état solide", pour lequel on tient compte de la possibilité de (faibles) déformations.

[modifier] Modèles discret et continu

Comme pour les systèmes matériels en général (déformables ou non), on peut adopter soit un mode de description discontinu (ou discret), ou encore continu.

[modifier] Modèle discret

Le modèle le plus facile à utiliser est de considérer le solide (ou le système matériel) comme un ensemble d'une infinité de points matériels M_i de masses m_i.
On définit alors la masse totale du solide par $M=\sum_{i} m_{i}\qquad$ , étant dans la cadre d'un modèle classique avec additivité des masses. Toutes les autres grandeurs physiques extensives sont formellement définies par des sommes discrètes: par exemple, la quantité de mouvement^[2] s'exprime par $\vec{P}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}}$ , etc.

[modifier] Modèle continu

La matière possède bien sûr une structure microscopique discrète, étant constituée d'atomes, eux-mêmes ayant d'ailleurs une structure interne ^[3]. Toutefois si l'on considère un élément de volume "mésoscopique" du solide ^[4], celui-ci est susceptible de contenir un très grand nombre d'atomes. Par exemple un cube de fer de 1 μm de côté (très petit à l'échelle macroscopique) contient près de 8,5.10¹³ atomes. On peut ainsi traiter le solide comme un milieu continu. Plus précisément, un milieu sera dit continu si le nombre de particules contenues dans un volume élémentaire dτ est suffisamment grand pour que l'on puisse négliger ses fluctuations. Il convient de noter que ce mode de description n'est pas spécifique aux corps "solide" mais convient également très bien pour les fluides.

Dans l'hypothèse des milieux continus, on peut décrire le solide (ou également un système matériel comme un fluide) non par un ensemble discret de points matériels, mais par une distribution volumique de masse ρ(M), définie en tout point M du domaine de l'espace (V) occupé par le solide.

Plus précisément on peut définir la masse volumique ρ(M) en considérant un élément de volume δτ centré au point M, de masse δm, par $\lim_{\delta \tau \to 0} \frac{\delta m}{\delta \tau}=\rho (M)$ .^[5]

Remarque: le solide est dit homogène si ρ(M) = cte pour tout point M du solide (ou du système).
La plupart des éléments cinétiques des systèmes matériels (et donc, des solides) peuvent être définis en remplaçant la sommation $\sum_{i} \quad$ sur les indices des points matériels du modèle discret par une intégration volumique sur le domaine (V), par exemple:

Masse du solide: $M=\iiint_{M \in(V)} \rho (M) d\tau$ ;
Centre d'inertie G: $M\vec{OG}=\iiint_{M \in(V)} \rho (M)\vec{OM} d\tau$ ;
Quantité de mouvement $\vec{P}=\iiint_{M \in(V)} \rho (M)\vec{v_{M}} d\tau$ ;
Moment cinétique en O $\vec{L_{O}}=\iiint_{M \in(V)} \left (\vec{OM}\times \rho (M)\vec{v_{M}} \right ) d\tau$ ;
Energie cinétique $E_{k}=\iiint_{M \in(V)} \frac{1}{2}\rho (M)v_{M}^{2} d\tau$ ;

Pour un solide, le modèle continu est le plus souvent considéré comme plus lourd à utliser, aussi lui préfére-t-on souvent le modèle discret, notamment dans les démonstrations des divers théorèmes. Néanmoins, il permet de définir le plus rigoureusement les notions de symétrie mécanique et d'effectuer les calculs de moments d'inertie, peu aisés à effectuer par sommation.

[modifier] Symétrie mécanique

Il est évident de part la définition d'un solide mécanique que celui-ci possède une forme géométrique propre - il s'agit au demeurant d'une caractéristique macroscopique élémentaire de l'état solide. Il est fréquent de considérer des solides de formes géométriques simples (e.g. sphère, cube, cylindre...) présentant des éléments de symétrie géométrique (e.g. centre, axe ou plan de symétrie) donnés. Toutefois la répartition des masses au sein d'un tel solide ne possède pas nécessairement les mêmes éléments de symétrie.

On parle de symétrie mécanique associée une symétrie géométrique si pour tout couple de points (M, M') du solide homologues dans la symétrie géométrique on a ρ(M)=ρ(M'). L'existence pour un solide de symétries mécaniques simplifie grandement la détermination de la position du centre d'inertie G, des axes principaux d'inertie, les calculs des moment d'inertie.

[modifier] Mouvements d'un solide

L'étude générale du mouvement d'un solide est complexe dans le cas général, bien que la condition de rigidité du modèle simplifie grandement le problème. en effet, au lieu d'une infinité (ou d'un très grand nombre) de degrés de liberté un solide possède seulement 6 degrés de liberté:

3 correspondant aux coordonnées de son centre d'inertie G;
et 3 angles (angles d'Euler par exemple) permettant de décrire sa rotation "propre" dans le référentiel barycentrique.

Il est intéressant de considérer quelques cas particuliers.

[modifier] Champ des vitesses d'un solide

Pour deux points quelconques M et P d'un solide, par hypothèse on PM = cte. Par suite $\frac{d(PM^{2})}{dt}=\frac{d\left (\vec{PM}^{2}\right )}{dt}=0$ , soit aussi $\vec{PM}\cdot \frac{d\left (\vec{PM}\right )}{dt}=\vec{PM}\cdot \left (\vec{v_{M}}-\vec{v_{P}}\right )=\vec{0}$ .
On retrouve une propriété d'équiprojectivité du champ des vitesses du solide, par suite:

$\vec{v_{M}}=\vec{v_{P}}+\vec{\omega}\times \vec{PM}$ , (1)

, avec $\vec{\omega}$ vecteur rotation du solide dans le référentiel d'étude (R) (ou le référentiel barycentrique (R^*)associé, car les deux sont en translation). Ce vecteur à pour valeur la vitesse angulaire instantanée du solide, pour direction l'axe instantané de rotation du solide.^[6]

Cette relation peut être écrite en faisant intervenir le centre d'inertie G du solide: en effet il est évident que pour tout point M du solide que GM = cte, donc la formule (1) reste applicable, d'où: $\vec{v_{M}}=\vec{v_{G}}+\vec{\omega}\times \vec{GM}$ , ce qui permet de montrer ^[7] que le mouvement d'un point M quelconque d'un solide se décompose en un mouvement "de translation" et un autre de "rotation propre"^[8].

[modifier] Mouvement de translation d'un solide

[modifier] Mouvement de rotation autour d'un axe

[modifier] Voir aussi

↑ Voir, par exemple, José-Philippe Pérez, Mécanique: fondements et applications, 6^e éd. 2001, Dunod - Masson sciences.
↑ Aussi appelée résultante cinétique.
↑ Voir aussi: particules élémentaires.
↑ C'est-à-dire de dimensions très inférieures à celle de l'échelle "humaine" (∝1 - 10^-3 m), mais très supérieure au rayon atomique (∝10^-10 m).
↑ Voir par exemple, malgré l'ancienneté de la référence, Cagnac, Ramis,Commeau, Nouveau cours de mathématiques spéciales - Tome 4, Masson, Paris, 1963 - Notamment le chap. XVI.
↑ Pour le champ des vitesses d'un fluide, il est possible d'obtenir localement une expression formellement similaire, où se rajoute un terme de dilatation-déformation - Voir Pérez, op. cit., chap. 29
↑ Voir aussi Landau et Lifchitz, Physique théorique, tome1: Mécanique, 5^e édition française, Ellipses, 1994
↑ Plus précisément dans le référentiel barycentrique