Discuter:Module sur un anneau

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Sommaire

[modifier] Suppression

J'ai supprimé du corps de l'article cette partie

Les notions de module à gauche et de module à droite ne sont pas confondues car le troisième axiome est différent pour les modules à gauche et les modules à droite, sauf si A est commutatif. Néanmoins si on désigne par Aopp l'anneau opposé à A (i.e l'anneau A muni de la loi multiplicative * opposée : a*b = b.a ), on ramène l'étude des A-modules à droite à celle des Aopp-modules à gauche.)

Qui me semble pour le moins obscure, en particulier que signifie l'affirmation "le troisième axiome est différent pour les modules à gauche et les modules à droite" ?. Ensuite "on ramène l'étude des A-modules à droite à celle des Aopp-modules à gauche" par quel isomorphisme?


J'espère que c'est mieux comme ça. Pas facile d'être clair ! --Lyoa 26 décembre 2005 à 16:29 (CET)

Merci, oui plus clair ainsi. HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

[modifier] Exemple de A-module

Il est écrit

"Si M un groupe abélien et si f est une fonction de M dans M, alors on peut définir la loi externe f \cdot x = f(x) qui confère à M une structure de module sur MM".

L'ensemble MM est l'ensemble des applications de M dans M (et non l'ensemble des fonctions). Pourrait-on m'indiquer quelles sont les opérations qui confèrent à MM une structure d'anneau ? La première loi est simple : (f + g)(x) = f(x) + g(x) mais la seconde .... HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

[modifier] bimodule

Il est écrit

"Un bimodule est un ensemble M muni à la fois d'une structure de module à gauche sur un anneau A1 et d'une structure de module à droite sur un anneau A2"

Il manque la condition suivante : pour tous a de A1, x de M, b de A2, on a (a.x).b = a.(x.b). HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

Je crois que pour un bimodule, la condition (a.x).b = a.(x.b) n'est pas obligatoire, mais que si c'est le cas, on dit que les lois sont permutables (ou quelque chose comme ça, il faudrait que je vérifie. Philippe% 28 décembre 2005 à 11:37 (CET)

Il est écrit

"Par exemple, l'ensemble des fonctions EF d'un anneau E dans un anneau F est simultanément muni d'une structure de module à gauche sur FF via la loi (f,g) \mapsto f \circ g, et d'une structure de module à droite sur EE via la loi (f,g) \mapsto g \circ f".

Je suppose qu'il s'agit là aussi de l'ensemble des applications (et non l'ensemble des fonctions). Je veux bien concevoir que FF muni de l'addition et la multiplication induites de celle de l'anneau F ( somme (f+g)(x) = f(x) + g(x) , produit (f.g)(x) = f(x).g(x) ) soit un anneau mais peut-on m'expliquer pourquoi EF est un FF-module ?HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

[modifier] Représentation d'un anneau sur un groupe

Je ne connais que des représentations de groupe sur un espace vectoriel: application de G dans le groupe linéaire de V. C'est d'ailleurs vers ce type de représentation que pointe le lien. La personne ayant mis l'information sur la représentation d'un anneau sur un groupe pourrait-elle citer ses sources (autre que la traduction de l'article anglais) et éventuellement compléter en créant un article sur la théorie de la représentation. HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)


J'avoue ne pas avoir beaucoup pratiqué la représentation dans autre chose que des espaces vectoriels, mais je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas en parler. Je regarderai éventuellement quelques détails dès que j'aurai accès à une bibliothèque digne de ce nom. En attendant, j'ai un peu précisé le lien avec le lien que j'avais rajouté.--Lyoa 31 décembre 2005 à 11:57 (CET)

[modifier] Réponse à mes questions et avertissement

  • Concernant la structure d'anneau de MM , je doute fortement de son existence. Mais ce dont je suis sûre c'est que l'opération définie de M^M \times M dans M par (f,x)\mapsto f(x) ne munit pas M d'une structure de MM-module. En effet f(x + y) a peu de chance de valoir f(x) + f(y) . Sauf si f est un morphisme de groupe. Je me demande si l'auteur ne confond (?) pas fonction, application et ... morphisme.
  • Concernant la structure de FF-module à gauche de EF, j'émets les mêmes réserves quant à la vérification du premier axiome et le même soupçon sur la confusion entre fonction/ application/morphisme.
  • Concernant la condition du bimodule, il suffit de taper bimodule sur Google ou d'ouvrir le Mac-Lane et Birkhoff pour voir que cette condition est absolument nécessaire.
  • Concernant l'exemple sur l'espace euclidien, je suppose qu'il ne peut pas s'agir de l'espace affine euclidien (sur lequel il n'est pas usuel de définir une addition de points...), qu'il s'agit plus probablement de l'espace vectoriel et qu'enfin la notion de distance (euclidien) est complètement superflue.

Je corrige donc dans l'article.

Ayant déjà corrigé 5 erreurs dans la partie de l'article qui restait à ma portée, et ne pouvant pas corriger le reste qui se place à un niveau d'abstraction plus élevé, je mets en garde les lecteurs potentiels contre d'éventuelles erreurs sur le reste de l'article. HB 30 décembre 2005 à 18:51 (CET)


Tout à fait d'accord sur les corrections effectuées. En ce qui concerne la structure de EF, je pense qu'il vaudrait mieux faire un petit paragraphe sur les différentes structures de module de Hom(E,F).
J'ai lu le reste plus en détail, je n'y vois pas d'erreur, même si je n'aurais sans doute pas présenté les choses de la même façon. J'ai quand même un léger doute sur la terminologie ; je vérifierai dans la semaine.--Lyoa 31 décembre 2005 à 12:20 (CET)
Je suis d'accord avec les corrections effectuées. (surtout en ce qui concerne la "structure" de module sur un anneau du type MM, qui résulte d'une confusion (impardonnable) entre application et morphisme), par contre on peut définir une structure de module sur XA où X est un ensemble et A un anneau, à l'instar de ce qui se passe dans les espaces vectoriels.
Ne s'agirait-il pas plutôt d'une structure de A-module sur AX ? HB 31 décembre 2005 à 14:19 (CET)
Oui effectivement 84.6.84.249 31 décembre 2005 à 14:56 (CET)
  • Après une relecture (on va dire moins "faite à la va vite") je n'ai pas vu d'autres erreurs. A HB qui trouve que la suite est trop abstraite, j'avoue que je me suis basé sur le deuxième tome d'algèbre de Nicolas Bourbaki... (C'est vrai, ce n'est pas le nec plus ultra de la pédagogie, mais ce que j'ai écrit est déjà mille fois plus lisible.)
  • Le lien avec la théorie de la représentation est à plus proprement parler une analogie, puisque la structure de module se résume à la connaissance d'un groupe abélien (M,+) est d'un morphisme A \mapsto End(M). (la représentation d'un groupe est la donnée d'un morphisme de G dans GLn(E), ce qui est un type différent). (le lien wiki vers représentation des groupes n'avait aucune raison d'être là).
  • Pour la remarque sur l'espace euclidien, j'entendais par là l'espace vectoriel euclidien, que l'on identifie de manière abusive avec l'espace des matrices colonnes, la loi (A,X) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \times \R^n \mapsto AX marche bien.
  • La condition (a.x).b = a.(x.b) est dans la définition d'un bimodule (je croyais que c'était facultatif et je cherchais le nom de cette propriété, en fait, ça s'appelle la compatibilité)

Voilà, je pense qu'on peut rendre cette page encore plus lisible sans en changer toute la structure, en agrémentant de quelques exemples par ci par là. Mais si il y a des désaccords, vu qu'après tout on travaille sur un projet encyclopédique, il vaut mieux en faire part tout de suite. Philippe% 31 décembre 2005 à 13:34 (CET)

[modifier] Ajout

J'ai ajouté les notions de module simple et de module semi-simple avec quelques théorème. A suivre... ? PDuceux février 2006

[modifier] riche ou pauvre?

Je ne suis pas d'accord avec l'idée de richesse ou de pauvreté de la structure de module par rapport à celle d'espace vectoriel. La structure est plus pauvre (puisque les espaces vectoriels sont des modules, mais pas le contraire), mais la théorie est plus riche! Sylvie Martin

Tu as tout à fait raison. Je préfère d'ailleurs distinguer pour une structure les notions de richesse, de force et de complexité. La structure d'espace vectoriel est plus forte (il y a plus de conditions donc plus de résultats valables), aussi riche (la structure de module sous-jacente à un espace vectoriel ne contient pas moins d'information) mais moins complexe (ce que tu formules par le fait que la théorie des modules est plus riche). Ambigraphe, le 27 février 2008 à 08:41 (CET)