Discuter:Matrice définie positive

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Sommaire

1 Terminologie
2 Attention
3 Réfutation d'une affirmation de l'article (contre-exemple)
4 critère de Sylvester
5 Ajout hors-sujet
6 Critère de Sylvester (d · h · j · ↵)

[modifier] Terminologie

En anglais, positive a le sens de l'expression française strictement positif. Attention à la traduction. Vivarés 8 novembre 2005 à 16:05 (CET)

[modifier] Attention

La propriété pour une matrice d'être (définie) positive est invariante par congruence, elle ne l'est pas par conjugaison ce qui signifie que le pt de vue adéquat est celui des formes quadratiques plutôt que celui des opérateurs. Jaclaf 5 juillet 2007 à 13:38 (CEST)

[modifier] Réfutation d'une affirmation de l'article (contre-exemple)

Il conviendrait de compléter l'article en donnant la définition des matrices définies positives, non seulement pour les matrices hermitiennes (complexes), mais aussi pour les matrices symétriques réelles.
La caractérisation donnée dans l'article des matrices définies positives au moyen des matrices colonnes à éléments entiers (ou, ce qui revient au même, rationnels) est non seulement inattendue (que vient faire ici l'arithmétique ?) mais surtout fausse, comme le montre le contre-exemple suivant.

On considère la matrice symétrique réelle $M = \begin{pmatrix} 2 & -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}$ .
Pour toute matrice colonne X à éléments réels x, y, on a $X^T\, M\, X = 2\, x^2 - 2\sqrt{2}\, x\, y + y^2 = (x\, \sqrt{2} - y)^2 \geq 0$ . Ainsi, la matrice M est positive, mais elle n'est pas définie positive : on peut trouver $X 0$ non nulle telle que $X_0^T\, M\, X_0 = 0$ .
D'autre part, si on prend X non nulle, à éléments entiers, alors $x\, \sqrt{2} - y \neq 0$ , car $\sqrt{2}$ est irrationnel, donc $X^T\, M\, X > 0$ , bien que M ne soit pas définie positive. Vivarés 9 novembre 2005 à 20:22 (CET)

[modifier] critère de Sylvester

je l'ai isolé du reste parce que, si l'équivalence des propriétés 1,2, 3 est relativement facile, la demo de ce dernier est plus cachée.Jaclaf 8 juin 2007 à 17:01 (CEST)

C'est exact. Cela étant dit, aucune des caractérisations n'est démontrée dans l'article.

Vivarés 8 juin 2007 à 17:33 (CEST)

ces démos y figureront bien un jour wiki c'est évolutif vrai Jaclaf 15 juin 2007 à 13:53 (CEST)

je viens de mettre une démo de 1 equiv à 2, pour le critère de Sylvester il fallait d'abord écrire quelque chose sur la réduction de Gauss, ce que je viens de faire. Jaclaf 24 juin 2007 à 17:19 (CEST)

[modifier] Ajout hors-sujet

Une matrice "semi-définie positive" n'est pas définie positive. Cet ajout est hors-sujet. Il faut créer un autre article

"Une matrice symétrique réelle est dite semi-définie positive si toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles." Vivarés

pas d'accord du tout on pourrait aussi farie" un article sur les réels strictement positifs et un autre sur les réels positifs ou nul, la différence est du même degré Jaclaf 15 juin 2007 à 13:55 (CEST)

À cela près qu'il y a une infinité de matrices positives et non définies positives, tandis que 0 est le seul réel positif qui ne soit pas strictement positif. En fait, si les matrices définies positives et les matrices "simplement" positives ont des propriétés analogues, il y a aussi bien des différences liées à l'existence éventuelle de vecteurs non nuls annulant la forme quadratique associée à la matrice ; en fait, ce qui est en jeu, c'est la théorie des formes quadratiques définies positives (produits scalaires), ou bien "simplement" positives, sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie. Par exemple, l'inégalité de Cauchy-Schwarz ne suppose rien d'autre que la positivité, mais le cas d'égalité est très différent selon que la forme quadratique est définie positive, ou qu'elle est "simplement" positive.
Cela étant, comme la notion de "matrice positive" est une généralisation (utile par exemple en calcul des probabilités, avec les matrices de covariance), mettre un renvoi vers un futur article Matrice positive paraît judicieux. Cordialement, Vivarés 15 juin 2007 à 18:26 (CEST)

[modifier] Critère de Sylvester (d · h · j · ↵)

L'article suivant avait été créé sous le nom « Critère de Sylvester », avant d'être redirigé vers cette page - Éclusette 22 août 2007 à 00:59 (CEST)

[modifier] article

Le critère de Sylvester est utilisé pour vérifier si une matrice est définie positive.

La démarche consiste à évaluer les déterminants d'ordre inférieurs. ATTENTION (voir plus bas)Jaclaf 13 septembre 2007 à 17:25 (CEST)

S'ils sont tous strictements positifs, la matrice est définie positive.
S'ils sont tous positifs ou nuls, la matrice est semi-définie positive.
Dans les autres cas, on ne peut pas conclure.

MAIS SI : il s'agit de conditions nécessaires et suffisantes Jaclaf (d) 13 décembre 2007 à 12:06 (CET)

Pour savoir si la matrice est définie négative, on applique le critère de Sylvester pour l'opposé de cette matrice.

[modifier] discussion

recopiée depuis [[Projet:Mathématiques/problème sur un article#Critère de Sylvester - Éclusette 22 août 2007 à 00:59 (CEST)

Je sais pas trop quoi faire de cet article orphelin. Une redirection vers Matrice définie positive (où le critère est en partie formulé, mais dans une forme beaucoup plus obscure pour le non-inité) ? vers Matrice semi-définie positive? Le laissez tel quel? - Éclusette 4 août 2007 à 18:33 (CEST)

Il me semble que l'article est en contradiction avec le chapitre critère de sylvester dans matrice définie positive (d'après ce dernier il y a équivalence donc la phrase "Dans les autres cas, on ne peut pas conclure" est incompatible avec cette version). A première vue, la démonstration proposée dans matrice définie positive me semble bonne mais je manque de recul pour faire une validation ferme. Je suis donc amenée à mettre en doute la validité et la pertinence de l'article critère de Sylvester et par conséquent son second critère (pour les matrices semi-définie positive). Donc je propose un redirect provisoire vers matrice définie positive avec éventuellement une proposition en PDD de matrice définie positive pour une migration future du chapitre critère de sylvester dans un article dédié écrit par des connaisseurs avec démonstrations et sources. HB 7 août 2007 à 11:42 (CEST)

[modifier] positif, def positif et Sylvester

Le critère de Sylvester ne fait pas intervenir tous les déterminants d'ordre inférieur, mais seulement les déterminants principaux.

Cela étant dit, voici une démo du critère de Sylvester pour les matrices positives

a) on a équivalence entre def positif et $D n > 0, D n - 1 > 0, D 1 > 0$

(Sylvester dans le cas défini positif ; $D i$ désigne le mineur principal d'ordre i.

b) l'ens des matrices positives est l'adhérence (pour la topologie naturelle d'espace vectoriel ) de l'ens des matrices définies positives

Alors a) + b) nous dit que l'ens des matrices positives est caractérisé par $D_i\ge 0$ pour tout i de 1 à n.

c'est à cause de ce genre de chose que je ne suis pas d'accord sur la séparation entre def positif et semi-défini positif : les deux ressortent des mêmes idées et des mêmes techniques

PS. Si la démo du critère de Sylvester n'est pas claire, les critiques sont bienvenues

quant aux références sur le critère, je n'en connais pas, à part un vieux livre russe épuisé ! Jaclaf 13 septembre 2007 à 17:25 (CEST)