Réduction de Gauss

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Sommaire

1 Introduction
2 Enoncé commenté
3 Preuve
4 Exemple
5 Applications
6 Liens internes
7 Voir aussi

[modifier] Introduction

La réduction de Gauss est un algorithme permettant de représenter toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2) comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes (on parle en abrégé de "décomposition en carrés")

La méthode employée rappelle (avec une petite subtilité supplémentaire) la méthode de résolution de l'équation du second degré

[modifier] Enoncé commenté

Pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe un entier r, des formes linéaires $\,l_1, l_2...l_r$ indépendantes, et des éléments $c_1,\cdots, c_r$ du corps de base, tous non nuls, tels que $q=\sum_{i=1}^rc_il_i^2$ .

En langage matriciel, cela signifie que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale, c'est à dire que pour toute matrice symétrique $\,M$ d'ordre n, il existe une matrice inversible $\,Q$ telle que $\,{}^tQMQ$ soit diagonale (les coefficents diagonaux sont les $c_1,\cdots, c_r$ , complétés par des zéros si $r < n$ ).

L'entier r est le rang de la forme quadratique. C'est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant cette forme dans une base.

Contrairement aux valeurs propres, les $\,c_i$ ne sont pas uniques, même à permutation près.

[modifier] Preuve

Dans une base $e_1,\cdots,e_n$ , la forme s'écrit $q(x)=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j$ . On procède par récurrence sur la dimension. En dimension 1, on a tout simplement $q(x)=a_{11}x_1^2$ , et il n'y a rien à montrer.

Supposons donc la dimension supérieure à 1. On distingue deux cas.

a) Si l'un des coefficients $a i i$ est non nul, on peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que $a_{11}\not= 0$ . On écrit séparément les termes où $x 1$ intervient :

$q(x)= a_{11}x_1^2+ 2\sum_{i=2}^na_{1i}x_1x_i +\sum_{2\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j,$

On applique à ces derniers la technique bien connue pour la résolution de l'équation du second degré :

$a_{11}x_1^2+ 2\sum_{i=2}^na_{1i}x_1x_i= a_{11}\big(x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i\big)^2 - \frac{1}{a_{11}}\big( \sum_{i=2}^na_{1i} x_i\big)^2$

On obtient ainsi que

$q(x) = a_{11}\big(x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i\big)^2 + q^\prime(x)$

où $q^\prime$ est un polynôme homogène de degré 2 par rapport à $x_2,\cdots x_n$ , autrement dit une forme quadratique sur l'espace vectoriel engendré par $e_2,\cdots,e_n$ . L'hypothèse de récurrence nous dit que $q^\prime =\sum_{i=2}^s c_il_i^2$ , où les $\,l_i$ sont des combinaisons linéaires de $x 2,... x n$ , d'où le résultat avec $\,c_1=a_{11}$ et $l_1(x)=x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i$

b) Si tous les $a i i$ sont nuls et $\,q$ non nulle, il existe des entiers $\,i,j$ tels que $a_{ij}\not=0$ . Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de $a 12$ . On écrit

$q(x)= 2a_{12}x_1x_2+ 2x_1(\sum_{i=3}^na_{1i}x_i) +2x_2(\sum_{i=3}^na_{2i}x_i)+ \sum_{3\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j,$

La somme des termes en $\,x_1$ ou $\,x_2$ s'écrit aussi

$2( a_{12}x_1+ \sum_{i=3}^na_{2i}x_i)(x_2+\frac{1}{a_{12}}\sum_{i=3}^na_{1i}x_i ) -\frac{2}{a_{12}}(\sum_{i=3}^na_{2i}x_i)(\sum_{i=3}^na_{1i}x_i)$

On voit que $\,q(x)$ est de la forme

$2l_1(x)l_2(x)+ q^\prime(x),$

où $\,q^\prime$ ne dépend que de $\,x_3,\cdots x_n$ . On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à $\,q^\prime$ , et en remarquant que $\,4l_1l_2=(l_1+l_2)^2-(l_1-l_2)^2$

[modifier] Exemple

Soit $\,q(x)=x_1x_2 + x_2x_3+x_1x_3$ (disons sur $\mathbb{Q}^3$ ). On écrit

$q(x)=(x_1+x_3)(x_2+x_3)-x_3^2= \frac{1}{4}(x_1+x_2+2x_3)^2 -\frac{1}{4}(x_1-x_2)^2-x_3^2$

Cela illustre le fait que l'on est loin d'avoir l'unicité (permuter les $\,x_i$ !)

[modifier] Applications

Si le corps de base est $\mathbb{C}$ ou plus généralement un corps algébriquement clos, on voit qu'il existe r formes linéaires indépendantes $l_1,\cdots,l_r$ telles que $q=\sum_{i=1}^rl_i^2$ . Autrement dit, sous l'action du groupe linéaire, les formes quadratiques sont classées par leur rang. En langage matriciel, deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles sont même rang.

Si le corps de base est $\mathbb{R}$ , il faut prendre en compte le signe des $\,c_i$ . Il existe un entier s (inférieur ou égal à r) tel que $q=\sum_{i=1}^sl_i^2-\big(\sum_{i=s+1}^rl_i^2\big)$ . Cet entier ne dépend pas de la décomposition (loi d'inertie de Sylvester). Si r=s=n, la forme quadratique est définie positive, si r=n et s=0 elle est définie négative.

Par contre, si le corps de base est le corps des rationnels ou un corps fini, la réduction de Gauss ne fait qu'effleurer la classification des formes quadratiques.

[modifier] Liens internes

[modifier] Voir aussi

Marcel BERGER, Géométrie

Catégorie : Algèbre bilinéaire