Discuter:Matrice (mathématiques)

Répondre à Lorenzo ALALI ^discuss e-mail -- message posté le 3 juin 2006 à 17:52 (CEST)

(ben dis donc quelle signature) j'ai rajouté deux lignes, est-ce un peu mieux ? Peps 4 juin 2006 à 10:33 (CEST)

[modifier] Transposée

En créant le lien vers matrice transposée, je me suis aperçu qu'on retombait sur cette même page, pensez vous qu'il serait utile de créer une page spéciale pour les matrices transposées ? Si oui, comment l'appeleriez-vous ? Matrice transposée ? transposé ? transposée ? En anglais, cette page existe : http://en.wikipedia.org/wiki/Transpose Pierrelm 16 avr 2005 à 13:33 (CEST)

J'ai enlevé le redirect de matrice transposée pour y faire un article indépendant. J'ai aussi créé transposée qui redirige vers le premier. Mais il reste des choses à faire. PieRRoMaN ¤ Λογος 12 décembre 2005 à 20:32 (CET)

C'est moi ou à aucun moment l'article ne parle de la transposée ?

apparemment au gré des modifs et des renvois vers articles détaillés, ça avait disparu. J'ai remis un lien Peps 4 juin 2006 à 10:48 (CEST)

[modifier] Norme matricielle

il n'est mentionné nulle part les normes matricielles (norme 1, inf et 2) dans l'article, non plus dans Norme (mathématiques) (et du coup pas de renvoi non plus. je n'ai pas le temps de m'en occuper pmaintenant, mais si je trouve le temps, je m'y met! -- Bouktin@blabla - 11 octobre 2006 à 18:59 (CEST)

[modifier] Réécriture terminée

Voila, j'ai réécrit l'article. J'ai essayé d'être clair (est-ce réussi ?)

Il y a certainement beaucoup de fautes de frappe et d'orthographe (merci à qui fera l'effort de les corriger).

J'ai recyclé l'ancien article dans Pratique des matrices--Palustris 23 mars 2007 à 08:39 (CET)

J'ai terminé mon travail de réécriture. Ne reste plus qu'a effectuer un travail de relecture et de corrections que je vous laisse. --Palustris 25 mars 2007 à 12:27 (CEST)

Bon, j'ai commencé à repasser derrière. Mais, je commence à me demander si le mieux ne serait pas d'en revenir à la version d'avant cette réécriture. Des avis ?Salle 9 avril 2007 à 02:01 (CEST)

Il faudrait que tu argumentes davantage ... Le travail effectué par Palustris est très important. Tu as déjà effacé une partie de son texte dans un souci d'allègement je suppose ? Je suis moi aussi gênée par un article qui ressemble d'avantage à un cours qu'à un article encyclopédique et qui aurait peut-être plus sa place dans wikibook mais en l'état, c'est une somme de connaissances qu'il ne faudrait pas perdre. HB 9 avril 2007 à 10:00 (CEST)

j'ai aussi un point de vue assez mélangé. Sans avoir regardé en détail le déroulement des événements, je pense que Salle (d · c · b) souhaite quelque chose de plus synthétique, qu'il n'a pas tort en général, mais qu'il a tranché un peu trop vivement. Par exemple, en ne regardant que la partie "définitions", beaucoup de remarques anecdotiques ont disparu à juste titre, car elles engendraient souvent plus de longueurs ou de confusion qu'autre chose (avec des considérations prématurées vu le plan par exemple). En revanche je regrette la perte de

• l'écriture générale des matrices en coeff, que j'ai réintroduite,
• la donnée d'une matrice "par le système des lignes" et "par celui des colonnes" : c'est le genre de point évident qui demande à être détaillé parceque crucial dans la compréhension du fonctionnement ultérieur (les blocs eux sont plus anecdotiques).

je vais continuer à lire (pas tout de suite), mais le mieux est sans doute d'ouvrir les trois versions en parallèle et de constituer un bon point moyen, en profitant des avantages de chacune  ? Peps 9 avril 2007 à 10:14 (CEST)

Pour répondre à HB, je vais essayer de détailler un peu ma position. Effectivement, j'aimerais arriver à quelque chose de plus synthétique, avec un plan plus ramassé. Pour ça, je pense qu'il faut modifier pas mal de chose du travail de Palustris, même si celui-ci n'était pas mauvais. Par exemple, je ne pense pas que ce soit un bon choix de détailler des propriétés du genre la commutativité éventuelle de l'addition des matrices vient de la commutativité éventuelle dans l'espace des scalaires. Je préfère partir directement avec une structure d'anneau, puisqu'il me semble que c'est le cas le plus usuel. Je coupe aussi dans les exemples, dans l'idée que trop d'exemples tue l'exemple. Je note que vous estimez que j'ai trop coupé, et je vais essayer d'être plus mesuré. En revanche, je persiste à penser qu'un remaniement est nécessaire. Pour répondre à la suggestion de Peps, on n'est pas encore en conflit d'édition, donc on devrait pouvoir tous travailler directement sur cette page, non ?Salle 9 avril 2007 à 12:41 (CEST)

globalement d'accord et, plus précisément, en accord total avec le choix de procéder sur un anneau. Pour la méthode, Salle a le courage de couper, après tout c'est très bien, cela nous poussera (HB, Palustris, moi-même, ...) à n'effectuer de réintroductions que pour les éléments vraiment essentiels Peps 9 avril 2007 à 13:21 (CEST)

[modifier] Parties I et II "définitions" et "espaces de matrices"

Sur ces deux chapitres, j'ai réintroduit un certain nombre de choses dans le texte. Vous semble-t-il qu'on se rapproche quelque chose de satisfaisant ?

Sur la partie produit matriciel, je trouve qu'un raccourci était nécessaire. Mais j'aurais deux remarques sur la version Palustris

• il y avait des considérations sur la dualité (ligne/colonne) ; ces considérations étaient un peu hors sujet à cet endroit là mais sont intéressantes en général (avec l'application de la transposition également). Où parler de tout cela ? je pencherais pour une très brève mention dans l'interprétation linéaire des matrices et renvoi à dualité et matrice transposée.
• il y a des considérations techniques pas inintéressantes sur le produit (not la matrice rectangulaire inversible) ; elles pourraient aller dans produit matriciel, avec un renvoi sur cet article détaillé.

Peps 9 avril 2007 à 14:28 (CEST)

[modifier] a propos de la définition d'une matirce

Il est nécessaire de précisez que les coefficients d'une matrice sont à valeur dans K un corps commutatif. Comme vous pouvez le constater je parle de K et non de E puisque en générale E est réservé en algèbre linéaire aux espaces vectoriels. Enfin j'ai modifié la définition de "tableau" pour une matrice puisqu'elle n'a aucun sens mathématique. En revanche l'idée de parler "d'une famille d'éléments de E indexée par le produit cartésien des ensembles de nombres entiers [1,m] et [1,n]" n'est pas mauvaise quoique compliquée. Je propose donc de la maintenir mais j'y ajoute une autre défintion en terme d'application. Pour finir il me semble obligatoire de changer les E en K car l'article n'est pas clair si l'on parle de scalaire à valeurs dans E. En effet on écrit souvent et vous pourrez le trouver dans de nombreux ouvrages de : "soit E un K-espace vectoriel" ; dans cette phrase on considère implicitement K comme un corps commutatifs, les scalaires dont on parle seront à valeurs dans K.

Vince le 11/04

C'est vrai que la notation E n'est pas forcément très heureuse, il faudra remplacer par A, par exemple. Mais elle provient du choix qui a été fait de n'introduire les structures que progressivement ; en particulier, tant qu'on ne s'occupe que de définir un ensemble de matrices, il n'est pas besoin de demander que l'ensemble des coefficients ait une structure algébrique particulière. Cela n'intervient qu'ensuite, quand on définit les opérations dans ce qui devient des espaces de matrices. Je précise d'ailleurs qu'il y a quelques jours, le choix était encore plus radical, puisqu'on n'introduisait les diverses opérations sur les scalaires qu'au fur et à mesure des besoins. Maintenant, dès le second paragraphe, les scalaires forment un anneau unitaire. C'est un point médian, par rapport à ta proposition de s'en tenir à un corps commutatif d'emblée. Je pense que ce point médian est raisonnable : d'une part, cela permet de fixer les idées, tout en gardant, d'autre part, une certaine généralité, qui permettront au lecteur de ne pas être désorienté en abordant un article comme théorème des facteurs invariants.

Je suis donc enclin à revenir sur l'introduction d'une structure de corps commutatif, mais j'attends d'autres avis.Salle 11 avril 2007 à 11:46 (CEST)

Je suis favorable à l'idée de prendre un ensemble A d'abord quelconque, puis anneau unitaire puis corps commutatif. HB 11 avril 2007 à 15:41 (CEST)

Vu la tournure que prennent les choses, il serait bon de remplacer l'ensemble 'E' par l'ensemble 'A' pour réserver la lettre 'E' aux A-modules qui cont aparaitrent dans la suite--Palustris 12 avril 2007 à 11:08 (CEST)

[modifier] A propos du produit matricielle

• Voici la défintion que je propose (tiré d'un cours de mathématiques pour élèves de prépas Spé MP) :

 Soit A=( ai,j ) un élément de Mm,n(K)
 
 Soit B=( bi,j ) un élément de Mn,p(K)
 
 On définit la matrice C = AB de Mm,p(K) par :
 
 C=( ci,j ) avec .

• Puis les propriétés :

A(B+C) = AB + BC

(A+B)C = AC + BC

A(BC) = (AB)C

• Une remarque trés importantes :

le produit matricielle n'est pas commutatif !

On a donc un anneau non commutatif mais aussi non intègre (ie AB = 0 n'implique pas forcément A = 0 au B = 0 )

Vince le 11/04

Mon experience de professeur me laiise a penser qu'une telle définition est trop abstraite dans un premier temps et que plus vite on comprend que le produit matriciel est aparenté au produit scalaire, plus vite on calcule facilement. Il est difficile de trouver le juste équilibre entre une définition mathématiquement optimale et une définition plus lourde mais plus opérationnelle.--Palustris 12 avril 2007 à 11:11 (CEST)

+1 j'aime bien l'idée de centrer le discours sur l'opération ligne * colonne. De nombreux calculs matriciels ne sont que d'ailleurs des "paquets de produit scalaire" (genre transposée de P fois P). Peps 13 avril 2007 à 23:12 (CEST)

[modifier] A propos des matrices semblables et equivalentes

En parcourant l'article je constate que les notions de matrices équivalentes et semblables n'apparaissent que de manière succinte au niveau de la partie "APPLICATIONS LINEAIRES".

• Je pense qu'il serait préférable de définir GL_n(A) le groupes des matrices carrés inversibles (avec entre autre une définition en terme de déterminant avec un lien vers cette notion mathématiques).
• Puis d'introduire les notions de matrices équivalentes et matrices semblables. Préciser ici que deux matrices équivalentes ont même rang et si besoin définir le rang d'une matrice (je ne croît pas que cela est était fait...).
• Enfin introduire la trace d'une matrice et les propriété de conservation qu'elle a avec les matrices semblables.

On pourrait d'ailleurs introduire la trace comme l'une unique forme linéaire φ de M_n(A) dans A vérifiant : si A semblable à B alors φ(A)=φ(B).

Ainsi la notion de trace apparaît comme test pour savoir si deux matrices sont semblables ou non.

Vince Le 12/04

Autre souci, on ne parle absolument pas d'opérations sur les lignes et les colonnes, ce qui est un point de passage important pour la notion de matrices équivalentes.

Plus généralement, il va falloir réfléchir sérieusement à ce qu'on veut faire de cet article. Un glossaire ? C'était un peu la forme qu'il avait avant les modifs de Palustris, et il semble donc que cela ne convienne pas. Dans ce cas, peut-on se cantonner aux définitions de base, comme on est en train de le faire, et renvoyer à des liens pour les définitions suivantes ?

Il faudrait aussi parler de matrice d'adjacence pour les graphes. Y a-t-il d'autres domaines où des matrices sont utilisées, en dehors de l'algèbre linéaire et bilinéaire élémentaire ?

Qui a un avis ?Salle 12 avril 2007 à 16:09 (CEST)

J'ai un avis : le problème des matrices équivalentes est très important et nécessite un article à part entière avec (au moins) trois parties :

• la définition
• les opérations élémentaires avec
  • différentes interprétations
  • différents algorithmes
• Le théorème du rang quer l'on peut voir dans différents cadres
  • le cadre espace vectoriel
  • le cadre anneau principal

Quant aux matrices semblables, il a besoin d'un article à part lui aussi : Réduction d'un endomorphisme.--86.209.10.173 13 avril 2007 à 14:47 (CEST)

Oui, ces articles existent déjà. La question est : que garde-t-on dans larticle générique matrice. Je suggère que le mieux est de mettre dans la partie Espaces de matrices une sous-section Actions du groupe linéaire sur les espaces de matrices, ce qui permet d'être succinct, structuré (c'est-à-dire que les notions sont introduites en dehors de toute interprétation comme application linéaire, contrairement à ce qui est fait actuellement), et de renvoyer aux autres articles pour les détails. Je le ferai plus tard, si aucune objection n'est soulevée d'ici là.Salle 13 avril 2007 à 15:09 (CEST)

Remarque : ça peut être des sous-groupes qui agissent. J'avais vaguement tenté de commencer un truc purement matriciel avec opération élémentaire, pour amener vers les actions du groupe linéaire, mais à la réflexion ce n'est pas très convaincant ... Peps 13 avril 2007 à 23:21 (CEST)

[modifier] A propos de la définition

Je vous prie d'excuser mon insistance sur ce paragraphe mais il me semble que la défintion

 une famille (ai,j) d'éléments de A indexée par le produit cartésien des ensembles de nombres entiers [1,m] et [1,n]

reste difficile à comprendre pour une personne n'ayant pas de notions sur les produits cartésiens il me semble qu'une définition en terme d'application de [1,m] x [1,n] dans A ; cette définition présente l'avantage d'être juste et surtout plus visuel.

Vince le 12/04

Ben, c'est juste sans aucun doute, mais il y a toujours un produit cartésien ? et ça me semble au contraire moins visuel ; mais bon, je suis prêt à admettre que c'est un goût personnel. En gros, il s'agit donc de rappeler la définition d'une famille indicée par un ensemble. Je ne le fais pas, mais je propose de voir si quelqu'un d'autre juge cela utile, et le cas échéant, on le fera. Ca convient ?Salle 12 avril 2007 à 18:44 (CEST)

En principe les coefficients sont notés $a_{ij}$ et non $a(i,j)$ mais je viens de voir qu'il y a un article sur les familles. Oxyde 12 avril 2007 à 19:12 (CEST)

Le problème de la notation des indices n'est IMHO pas pertinent, c'est affaire d'us et coutumes.--86.209.10.173 13 avril 2007 à 14:50 (CEST)

[modifier] Organisation générale et contenu attendu

je pense que l'article général n'a pas vocation à s'éparpiller dans trop dans des considérations de vocabulaire ou des redites d'articles connexes. Par exemple

• je ne vois pas d'intérêt à la partie "normes et rayon spectral", qui est un avatar de l'interprétation des matrices commes applications linéaires.
• la section "interprétations bilinéaires" avec 10 sous-sections, serait assez indigeste une fois rédigée

J'attendrais d'un article généraliste sur les matrices qu'il me donne des idées générales, et qu'il ne se délite pas trop en examen exhaustif sous-domaines. Je verrais bien une organisation de ce type

1. définition
2. espaces de matrices
3. interprétations en algèbre linéaire, bilinéaire
4. autres interprétations (proba, graphes et hors maths même s'il y a maths dans le titre)
5. opérations élémentaires, résultats de décomposition (problématiques liées)

Peps 13 avril 2007 à 23:31 (CEST)

Je suis d'accord pour un article généraliste. Seule remarque sur le plan: la partie # interprétations en algèbre linéaire, bilinéaire risque d'être beaucoup plus grande que les autres. Oxyde 14 avril 2007 à 00:22 (CEST)

Tenir compte peut-être de l'existence de deux articles matrice (mathématiques) et théorie des matrices pour différencier les contenus. J'avais dans l'idée que cet article devait être technique et regrouper les résultats mathématiques sur les matrices avec renvois éventuels sur les articles dédiés et que l'article théorie des matrices aurait eu pour objectif de développer l'historie de l'introduction des matrice, d'en expliquer le principe pour quelqu'un qui cherche à découvrir ce que c'est c'est (voir remarque plus haut) et de faire l'inventaire de leur utilisation dans tous les domaines. Bref séparer le technique du culturel, comme cela a été fait pour valeur propre. Il serait bon de s'accorder sur l'existence des deux articles et leur contenu réciproque. HB 14 avril 2007 à 10:13 (CEST)

ben à première vue, il me semblerait plus logique que théorie des matrices contienne la théorie justement et que matrice (mathématiques) soit l'article généraliste et grand public.

il est vrai qu'il y a un gros bloc "interprétation linéaire/bilinéaire" qui mériterait probablement un traitement rapide dans l'article généraliste, puis qui pourrait constituer le coeur de la théorie des matrices.

les aspects historiques devraient aller dans l'article généraliste

Peps 14 avril 2007 à 12:06 (CEST)

En général, dans l'encyclopédie, les articles commençant par Théorie de ... parlent de l'historie, du concept et des ses applications d'où mon idée de conserver cet article pour parler des définitions et théorèmes et de réserver definition-aspect historique - espace de matrice- interprétation etc dans Théorie des matrices ==> impasse 1 contre 1. Solution : ou bien quelqu'un vient donner un autre avis, ou bien on conserve ton avis car tu es visiblement plus décidé que moi à t'investir dans ces articles. Quant aux titres ils n'ont qu'un importance relative. L'important est que la page d'homonymie soit t explicite et que l'introduction de chaque article permette de renvoyer immédiatement sur le bon. Bon courage pour la refonte. Un objectif pas facile à réaliser : qu'un amateur n'ayant jamais entendu parler de matrice n'aie pas à se farcir les deux articles pour comprendre le sens d'une matrice et le calcul des matrice 2*2. (c'est ce qui m'a arrêtée pour entreprendre une refonte et une cission à moins de créer un troisième article Matrice (mathématiques élémentaires)  ?). HB 14 mai 2007 à 16:57 (CEST)

Autre avis : L'expression Théorie des matrices me choque. Une juxtaposition de résultats ne forme pas pour autant une théorie : je serais d'avis de fusionner intelligemment Théorie des matrices et algèbre linéaire. Pour ce qui est de l'article matrice (mathématiques), je suis globalement d'accord avec Peps dans les grandes lignes. Mais je laisserais tomber le paragraphe espace des matrices en prévoyant un article opération matricielle ou un truc de ce genre. Les résultats de décomposition sont à évoquer dans l'article dès le paragraphe interprétation (du genre réduction d'opérateurs = manipulation sur les matrices) ; et doivent être réutilisées dans le paragraphe applications (du genre estimation de la vitesse de convergence dans les chaines de Markov finies).

En espérant que mon avis fasse avancer le problème (quel était le problème ?) Ekto - Plastor 14 mai 2007 à 17:17 (CEST)

[modifier] proposition pour deux articles

Article généraliste matrice (mathématiques)

1. définition
2. aspects historiques
3. espaces de matrices
4. interprétations en algèbre linéaire, bilinéaire (renvoi vers théorie des matrices)
5. autres interprétations (proba, graphes et hors maths même s'il y a maths dans le titre)

   + considérations algorithmiques (?)

6. opérations élémentaires, résultats de décomposition (ce sont des résultats généralistes puisque réexploitables pas seulement en algèbre linéaire/bilinéaire)

Article spécialisé développant le point 4 (interventions dans le domaine linéaire/bilinéaire) : article théorie des matrices Peps 14 avril 2007 à 12:06 (CEST)

[modifier] A propos des matrices inversibles

Pour l'équivalence inversiblke à droite/àgauche, seul le cas des matrices à coefficients dans un anneau commutatif est traité alors qu'on devrait aussi parler du cas des corps non commutatifs.

De plus, l'exemple qui a disparu me parait important, c'est typiquement le genre d'anectode que l'on rencontre dans une encyclopédie. Sans trop élever le niveau, cela permet de donner un éclairage algébrique qu'on ne trouve pas dans les manuels élémentaires et qui permettent de dégager une idée IMHO fondamentale  : Les maths, c'est une discipline très souple contrairement à la rigidité aride qu'on rencontre trop souvent.

• Aussi surprenant que cela puisse paraitre, on peut construire des matrices rectangulaires «inversibles». Considérons un corps K puis l'anneau des endomorphismes du K-espace vectoriel de dimension dénombrable K[X]. Regardons les 4 endomorphismes de K[X] suivants que l'on détermine sur la base canonique :

On vérifie facilement que et et par suite : : --Palustris 16 avril 2007 à 10:42 (CEST)

je suis d'accord pour dire que l'exemple est important en soi, mais aussi trop anecdotique pour aller dans l'article principal : il ne constitue pas un résultat fondamental de la théorie. Je le verrais plus à sa place dans un article technique : ça peut aller dans matrice inversible Peps 16 avril 2007 à 11:13 (CEST)

Juste pour généraliser l'exemple sans devenir abstrait. Un espace vectoriel E de dimension infinie peut toujours s'écrire comme somme directe de deux espaces F et G isomorphes à E (moyennant l'existence d'une base). Les isomorphismes et peuvent être prolongés par 0 en des endomorphismes linéaires A et B de E. De plus, a ^{− 1} et b ^{− 1} peuvent être regardés comme des endomorphismes de E. Les matrices :

et

sont des matrices à coefficients dans L(E) inverses l'une de l'autre. L'exemple E = K[X] offre l'avantage de donner une base naturelle et une forme explicite des isomorphismes introduits.

Sinon, parfaitement d'accord avec Peps Ekto - Plastor 16 avril 2007 à 12:43 (CEST)

[modifier] Remarque

Tout d'abord, pardon si j'utilise mal la page. D'autre part, il est écrit la loi + est distributive devant la loi *. Reste encore à les définir. En effet, il ne s'agit pas d'une loi interne(on fait le produit d'objets de natures différentes), ce qui ne nous permet pas techniquement de parler de distributivité.

Cordialement, E.O.