Loi uniforme discrète

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Loi uniforme discrète
Densité de probabilité / Fonction de masse
Discrete uniform probability mass function for n=5
n=5 où n=b-a+1
Fonction de répartition
Discrete uniform cumulative mass function for n=5
n=5 où n=b-a+1. Par convention la fonction de répartition (de masse) Fk(ki) est la probabilité que k > = ki
Paramètres a \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,
b \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,
n=b-a+1\,
Support k \in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \begin{matrix} \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{sinon } \end{matrix}
Fonction de répartition \begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<a\\ \frac{k-a+1}{n} & \mbox{pour }a \le k \le b \\1 & \mbox{pour }k>b \end{matrix}
Espérance \frac{a+b}{2}\,
Médiane (centre) a+n/2\,
Mode N/A
Variance \frac{n^2-1}{12}\,
Asymétrie (skewness) 0\,
Kurtosis (non-normalisé) \frac{9(n^2+1)}{5(n^2-1)}\,
Entropie \ln(n)\,
Fonction génératrice des moments \frac{e^{at}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{kt}\,
Fonction caractéristique \frac{e^{iat}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ikt}\,


En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète qui peut être caractérisée en disant que chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles a la même probabilité de se réaliser (on parle d'équiprobabilité).

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k1,k2,...,kn équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur ki  est égale à 1 / n.

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi

F(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}^n H(k-k_i)

où la fonction marche de Heaviside, H(x − x0), est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x0. Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

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