Localisation (mathématique)

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Sommaire

1 Notion intuitive
2 Définition rigoureuse
3 Construction
4 Exemples importants
5 Exemple explicatif
6 A voir

[modifier] Notion intuitive

La localisation est une des opérations de base sur un anneau commutatif unitaire; C'est une construction plus générale que celle du corps des fractions. Cela consiste à plonger notre anneau dans un anneau plus grand dans lequel on a autorisé des divisions que l'on ne faisait pas avant. Par exemple, le localisé de $\mathbb Z$ en $7$ est l'anneau $\mathbb Z \left[ \frac 1 2 , \frac 1 3 , \frac 1 5 , \frac 1 {11} , \frac 1 {13} ... \right]$ , dans lequel tout nombre entier qui n'est pas multiple de $7$ admet un inverse. Cet anneau correspond à une structure d'anneau à valuation discrète car il est de plus principal.

[modifier] Définition rigoureuse

On définit une partie multiplicative $S$ d'un anneau $A$ comme étant une partie de $A$ contenant $1$ , et stable par multiplication.

La localisation de l'anneau $A$ en la partie $S$ est alors un anneau, noté $S - 1 A$ , et un morphisme $l:A\rightarrow S^{-1}A$ , tels que: $l(S)\subset(S^{-1}A)^*$ , et universels ayant cette propriété; c'est-à-dire que pour tout un morphisme d'anneaux $f:A\rightarrow B$ , si $f(S)\subset B^*$ , alors il existe un unique morphisme $g: S^{-1}A\rightarrow B$ tel que $f=g\circ l$ .

[modifier] Construction

Pour construire l'anneau localisé, on procède comme dans la construction du corps des fractions mais avec une précaution supplémentaire pour tenir compte du fait que l'anneau n'est pas toujours intègre. Sur le produit cartésien $A\times S$ , la relation d'équivalence est alors la suivante : $(a, s)˜(a', s')$ si et seulement s'il existe un élément $t\in S$ tel que $t (a s' - a' s) = 0$ . Le reste de la construction est la même que celle du corps des fractions (le lecteur s'y réferera). L'utilisation de l'élément $t$ est cruciale pour la transitivité.

[modifier] Exemples importants

Les éléments réguliers $A^\times$ forment une partie multiplicative; l'anneau $(A^\times)^{-1}A$ est l'anneau total des fractions de $A$ ;
Le complémentaire d'un idéal premier $p$ est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note $A p = (A - p) - 1 A$ . C'est un anneau local.
Lorsque $A$ est un anneau intègre, les deux notions précédentes se confondent. En effet, l'idéal nul est premier et son complémentaire est $A^\times$ . Dans ce cas, $(A^\times)^{-1}A$ est un corps appelé corps des fractions de $A$ . L'application canonique qui va de l'anneau dans son corps des fractions est injective.
Lorsque $A$ n'est pas un anneau intègre, le complémentaire d'un idéal premier peut contenir des diviseurs de zéros. Vu que l'image dans l'anneau des fractions d'un diviseurs de zéro $a$ est inversible, cela entraine que l'image de tous les $b$ tels que $a b = 0$ ont une image nulle. L'application de l'anneau dans l'anneau des fractions n'est alors pas injective.

Par exemple, considérons l'anneau produit $K 2$ lorsque $K$ est un corps. Il possède deux idéaux maximaux $K\times 0$ et $0\times K$ . Les deux corps de fractions sont alors isomorphes à $K$ et les deux applications canoniques sont en fait les deux projections. Dans ce cas, on constate que vouloir inverser des éléments n'augmentent pas le nombre de ceux-ci mais au contraire le diminue.

[modifier] Exemple explicatif

Si l'on prend l'anneau des polynômes, $\mathbb C \left[ X \right]$ . Son spectre d'anneau s'apparente alors au plan complexe. Le localisé en l'idéal premier $\left( X \right)$ s'appelle le localisé en $0$ et est précisément l'anneau des polynômes dans lequel on a autorisé toutes les divisions exceptées celles par un multiple de $X$ . Ce nouvel anneau permet de s'intéresser aux propriétés des polynômes au voisinage de $0$ , d'où le terme de localisé.