Discussion Utilisateur:Leon1789

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Sommaire

1 Bienvenue sur Wikipédia
2 Un point limpide un autre non
3 La lumière s'approche

[modifier] Bienvenue sur Wikipédia

Bienvenue sur Wikipédia, Leon1789 !

Wikipédia est un projet de rédaction collective d'une vaste encyclopédie réalisé actuellement dans 250 langues différentes de par le monde.

[modifier] Généralités

Pour participer correctement ici, il me parait important de commencer par lire les principes fondateurs.

Moins urgentes, la lecture de pages comme Wikipédia:Citez vos sources, Wikipédia:critères d'admissibilité des articles et Wikipédia:Conventions de style s'avèreront elles aussi instructives.

[modifier] Syntaxe de base

Le bac à sable est l'endroit dédié aux essais que tu ne manqueras pas de vouloir faire sur la syntaxe wiki (ou tu peux éventuellement te créer une sous page à cet effet).

Si je devais résumer la syntaxe wiki en quelques phrases...

~~~~ te permet de signer un message avec une date (exemple : Leon1789 23 février 2007 à 12:12 (CET)). Les messages aux autres contributeurs doivent être signés (pages de discussion), mais pas les articles (l'historique permet d'en retrouver les auteurs). (voir Aide:Signature)
Faire des liens internes :
- [[article]] affichera article, avec un lien vers la page du même nom. Si le lien est rouge, alors la page de destination n'existe pas.
- [[Article|un autre texte]] affichera un autre texte, toujours en pointant vers Article.
'''gras''' et ''italique'' afficheront respectivement gras et italique
== titre == (seul sur une ligne) permet de créer un titre de section. Le nombre de "=" indique le niveau du titre, permettant de créer une arborescence (ce message est un exemple d'arborescence de titres). (voir Aide:Syntaxe#Titre)
Un modèle (appelé comme ceci : {{exemple de modèle}}) utilisé dans une page quelconque affiche un contenu qui se trouve en fait stocké dans la page Modèle:exemple de modèle. Cela permet d'insérer un même texte ou code (bandeau de portail, etc.) dans de nombreuses pages sans devoir le réécrire totalement à chaque fois. Par exemple, {{Portail Japon et culture japonaise}} est utilisé en bas de toutes les pages en rapport avec le Japon. (voir Aide:Modèle)
Il est recommandé de classer les articles pour qu'ils soient trouvables plus facilement : il suffit de leur affecter des catégories en insérant [[Catégorie:nom de la catégorie]] en bas de l'article. Attention toutefois à vérifier que la catégorie existe bien en prévisualisant la page : si le lien est rouge, alors la catégorie n'existe pas. Exemple : Le Plessis-Bouchard a pour catégorie Catégorie:Commune du Val-d'Oise. (voir Aide:Catégorie)

Une description beaucoup plus complète est disponible sur Aide:syntaxe.

[modifier] et sinon…

Tu peux indiquer, sur ta page utilisateur, les langues que tu parles, tes centres d'intérêt et/ou une brève description. Dans la mesure du raisonnable, chaque utilisateur peut mettre à peu près ce qu'il veut sur sa page personnelle... toutefois, la transformer en encart publicitaire ou tribune politique ne sera pas toléré. (un exemple de ce qu'il ne faut pas faire)
Une guilde de parrains et marraines est là pour aider ceux qui le souhaitent. Ils sont joignable sur le Projet:Service de Parrainage Actif
Si tu as d'autres questions, tu peux consulter l'aide ou service de parrainage

Bonne continuation

VIGNERON--7 janvier 2008 à 14:54 (CET)

Merci pour vos remarques en tout cas Peps (d) 6 janvier 2008 à 15:48 (CET)

[modifier] Des détails qui restent obscurs

J'ai encore deux questions :

Dans le cas général, il n'existe plus d'expression algébrique des racines comme le montre Galois. Quel sens précis donnes tu à spécialisée ? Comment construis-tu le plongement implicite que cache le mot spécialisé ? Si K est le corps des fractions rationnelles, P[X] le polynôme caractéristique sur K et L l'extension algébrique, un élément L ne s'écrit plus comme une expression algébrique d'élément de K. Autrement dit, je conçois bien que X⁵ + X + 1 admet cinq racines, mais il n'existe plus d'expression de ces racines en fonction des coefficients de ce polynôme, je ne peux les écrire que comme limite d'une suite convergente ou résultat d'une intégrale elliptique, mais plus comme une fraction de radicaux. Voilà pourquoi le mot spécialisé reste mystérieux pour moi. Jean-Luc W (d) 7 janvier 2008 à 15:22 (CET)

Le fait qu'il n'existe pas d'expression par radicaux des racines d'un polynôme ne signifie pas que ses racines n'existent pas : on peut même les construire algébriquement (cf. corps de décomposition). Cela dit, la spécialisation et les morphismes d'évaluation n'ont rien à voir avec ce résultat de Galois. Quand je dis que le polynôme générique $aX^2+bX+c \in Z[a,b,c][X]$ se spécialise en $2X^2 -X + 2/3 \in Q[X]$ , cela signifie juste qu'il existe un morphisme d'évaluation $Z[a,b,c][X] \to Q[X]$ qui envoie $aX^2+bX+c \in Z[a,b,c][X]$ sur $2X^2 -X + 2/3 \in Q[X]$ . Le morphisme est simplement $1 \to 1, a \to 2, b \to -1, c \to 2/3$ . Idem pour les matrices, etc. Exemple, on peut considérer un morphisme d'évaluation $Z[a,b,c,d,e] \to C$ envoyant respectivement a,b,c,d,e sur les 5 racines $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4,\ x_5$ de $X 5 + X + 1$ , car ces dernières existent dans C. (Remarque sans importance : comme il y a 120 façons de classer les 5 racines, il y a 120 morphismes d'évaluation...) Par ce morphisme

a + b

est envoyé sur

x 1 + x 2

, mais

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5

est envoyé sur 0 (quel que soit le morphisme d'évaluation choisi parmi les 120),

x 1 . x 2 . x 3 . x 4 . x 5

sur -1 (idem), etc. On pourrait dire que les polynômes $a+b+c+d+e, a.b.c.d.e \in Z[a,b,c,d,e]$ se spécialisent en 0 et -1 par ce morphisme. En fait, j'utilise le mot "spécialiser" en contre-poids au mot "générique". 7 janvier 2008 à 20:44 (CET)Leon1789 (d)

Pourquoi la démonstration est valable sur un corps de caractéristique p? la question n'intervient jamais car on suppose implicitement que le nombre n à un sens. Il existe des corps ou tel n'est pas le cas. L'expression de Z[X_ij] n'a donc pas de sens dans un tel corps tant que l'on ne lui en a pas donné. Jean-Luc W (d) 7 janvier 2008 à 15:22 (CET)

oula, mais n a toujours un sens dans n'importe quel anneau unitaire : c'est

n .1 A

, ou encore $(-1)^n.(1_A+1_A+1_A+.._{abs(n)\ fois}...+1_A )$ ! Bien sûr, on peut avoir n=0 dans l'anneau, mais peu importe, le morphisme d'évaluation n'en souffre aucunement. On peut très bien considérer le morphisme d'évaluation $a \to 10, b\to u$ défini de

Z [a, b]

dans Z/5Z[u,v] ! 7 janvier 2008 à 20:44 (CET)Leon1789 (d)

[modifier] Un point limpide un autre non

Pour être clair, je vais essayer de te paraphraser , ainsi tu comprendras exactement l'endroit où je me prend les pieds dans le plat et m'étale de tout mon long.

Tu considères un espace vectoriel E sur un corps K de dimension n. Je note Ω les n² (x_ij) pour i et j variant de 1 à n. Tu considères l'anneau Z[Ω] et l'application :

φ de K^n²xZ[Ω] dans K qui à (ω,P[Ω]) associe P[ω]

Tu remarques avec habileté que φ(ω,P₁[Ω]).φ(ω,P₂[Ω])=φ(ω,P₁[Ω].P₂[Ω]). Cette propriété est aussi vraie pour l'addition et la multiplication externe. Avec sagesse tu parles de morphisme et plus précisément de morphisme d'évaluation, vocable pertinent et métaphorique.

heu, vocable habituel, il me semble (lol) Je ne prends pas un corps K, mais un anneau commutatif unitaire, et sans espace vectoriel. 8 janvier 2008 à 00:32 (CET)Leon1789 (d)

Point 1 : Ensuite, comme tu souhaites obtenir un corps et tu passes à Q(Ω). Le morphisme d'évaluation me semble un peu moins bien défini. Je note (a,b,c,d) Ω pour construire un exemple (n = 2) et je considère 1/(a-b) et j'essaie de l'évaluer sur (1,1,0,0). J'ai un petit souci. Le morphisme d'évaluation semble moins commode. Précédemment tu avais contourné astucieusement cette difficulté en évaluant uniquement un polynôme de Z[Ω], Ai-je toujours bien compris ou ai-je raté un virage ?

C'est ça. J'ai besoin d'un corps (pour la suite). Or le morphisme d'évaluation ne passe pas au niveau des corps, mais seulement au niveau d'anneaux "universels" type Z[Ω]. Si on part avec Q(Ω) pour cuisiner, il faudra revenir sur Z[Ω] avant de considérer un morphisme d'évaluation à valeurs dans un anneau commutatif unitaire. 8 janvier 2008 à 00:32 (CET)Leon1789 (d)

Point 2 : Tu considères alors le polynôme caractéristique appliqué à l'endomorphisme qui nous donne une expression P[X] à coefficient dans Z[Ω] (tout va bien). Tu souhaites obtenir une expression des racines et tu considères donc l'extension L. Pour faire simple je suppose de P[X] est irréductible dans Q(Ω), l'expression L devient alors un corps analogue à Q(Ω)[X]/P[X]. Même si P[X] est irréductible, même si le corps de rupture est le corps de décomposition, je tremble un peu. Je ne vois plus quel est l'ensemble d'arrivé du morphisme d'évaluation, en fait je ne comprend pas comment tu le prolonges. L'analogie précédente m'a laissé penser que tu considérais K[X]/P_eval[X], mais là nous irions au devant de gros soucis (je le crains mais je n'ai peut être pas tout saisi); Si nous considérons comme P[X] le polynôme suivant : X^2 + a X + 1 avec les notations précédentes et n = 2. Incontestablement il est irréductible, son discriminant a² - 4 n'est pas un carré parfait. En revanche, si d'aventure je choisis a = 2, Mazette voilà que mon candidat à l'ensemble d'arrivé devient K[X]/(X+1)^2, en bref un anneau totalement corrompu et qui n'a aucune chance de garder la moindre propriété morphique. Quel est donc l'ensemble de départ et d'arrivé de φ ?

Supposer P[X] irréductible ne sert à rien. (En fait le polynôme caractéristique de la matrice générique est irréductible, c'est certain, mais cela ne sert pas). Par ailleurs, Q(Ω)[X]/P[X] n'est pas un corps de décomposition, car il ne contient qu'une seule racine de P ! (i.e. la classe de X...) Le corps de décomposition de P[X] est plus gros (de dimension n! en fait) mais peu importe. En ce qui concerne le morphisme d'évaluation en partant du corps de décomposition, je vois ce que tu veux dire : je vais réfléchir à un argument propre. 8 janvier 2008 à 00:32 (CET)Leon1789 (d)

Point 3 : Que tu aurais lâchement tenté de me noyer, tu ne t'y serais pas mieux pris. Tu proposes un autre morphisme (qui reste encore un mystère pour moi, je ne vois ni l'ensemble de départ ni celui d'arrivée). Tu envoie violemment a,b,c,d,e vers les cinq racines du pauvre polynôme X⁵ + X + 1. Comme le produit des 5 racines est égal à -1, il faudra que tu choisisses habilement a,b,c,d,e pour permettre de vérifier cette propriété (sinon je ne comprend pas ce que tu signifies par morphisme). En pratique nous savons toi et moi qu'il n'existe pas d'expression algébrique construite à l'aide de rationnels, des quatre opérations et des radicaux qui pourrais satisfaire les propriétés d'un morphisme. Je ne comprend plus s'il existe un morphisme d'évaluation ou 120 ? si les coefficients a,b,c et d correspondent à ceux d'une matrice, je suis perdu.

Je donnais là un exemple totalement indépendant du contexte du théorème de Cayley-Hamilton (dans lequel sont englués matrices et polynômes). D'ailleurs, j'avais défini parfaitement le morphisme, c'est maintenant en gras (ah, C est toujours le corps des nombres complexes.) De plus, il ne faut plus penser à ce que Galois a démontré : les racines de

X 5 + X + 1

existent dans C, on les numérote de 1 à 5, et cela suffit pour définir un morphisme d'évaluation $Z[a,b,c,d,e] \to C$ envoyant respectivement a,b,c,d,e sur les 5 racines $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4,\ x_5$ de

X 5 + X + 1

. Si tu changes la numérotation (tu en as le droit), alors le morphisme d'évaluation change aussi évidemment. (Ensuite j'ai pris la somme et le produit car ce sont des exemples particulier, qui montrent que certaines images par évaluation sont indépendantes des choix que l'on pourrait faire. Mais ce n'est pas important dans notre histoire... Laissons tomber aussi le nombre de morphismes d'évaluation, cela aussi n'est pas important...) Si les coeff sont ceux d'une seule matrice, alors c'est pareil. 8 janvier 2008 à 00:32 (CET)Leon1789 (d)

Point 4 : Les mauvaises langues prétendent que n n'a pas toujours un sens sur un anneau, ils pensent par exemple à 2Z. Mais il y en a toujours sur un corps or K est un corps, alléluia. Je disais juste que pour que la démonstration soit claire, il me semble judicieux de préciser, ce que tu fais habilement dans ton propos qui devient maintenant limpide sur ce point.

ok effectivement, j'ai ajouté (car il le faut) anneau unitaire. 8 janvier 2008 à 00:32 (CET)Leon1789 (d)

Suis-je plus clair dans le point qui me semble nébuleux ? Cordialement Jean-Luc W (d) 7 janvier 2008 à 22:26 (CET)

J'ai compris qu'il faut que je précise clairement les morphismes d'évaluation. ok, je le ferai. Mais il est trop tard là, je vais me coucher. (lol) A+... 8 janvier 2008 à 00:32 (CET)Leon1789 (d)

Voilà, j'ai re-rédigé la preuve... 8 janvier 2008 à 11:36 (CET)Leon1789 (d)

[modifier] La lumière s'approche

Serais-je donc ton Méphisto ? L'esprit qui toujours nie, selon Goethe.

La preuve s'améliore, le morphisme d'évaluation est utilisé dans un contexte qui ne prête plus à polémique.

Le coup de morphisme d'évaluation portant sur les racines de P existant dans une extension est valable, mais pour le justifier, cela emmène très loin, donc ce n'est pas terrible du tout ici.

Néanmoins un détail me chagrine. Tu souhaite de P[X] n'admette aucune racine double. Si je comprend tes propos, qui cette fois semble beaucoup plus limpide tu suis le raisonnement suivant : si le polynôme P[X] et sa dérivée formelle n'ont pas de racine commune, alors bingo, le tour est joué. Raisonnement astucieux et brillant. Mais est-il toujours exact ? L'article sur les corps parfait indique la propriété : un polynôme est séparable (ie n'a pas de racine double) s'il est premier avec sa dérivée première dans le cas d'une extension séparable. Si ton corps n'est pas parfait, adieu veaux, vaches, cochons.

Effectivement, cette phrase de la page corps parfait est celle que j'utilise ! Si z est racine multiple de P, alors z est racine de P', donc z racine de

p g c d (P, P')

. Par contraposition de cette phrace, si

p g c d (P, P') = 1

alors P n'a pas de racine multiple. En fait, sur n'importe quel corps, il y a équivalence entre "pgcd(P,P')=1" et "P séparable". Les histoires de corps parfait, c'est pour qu'il y ait équivalence entre "P sans facteur carré" et "P séparable"... 8 janvier 2008 à 15:41 (CET)Leon1789 (d)

En conséquence, sur un anneau quelconque, rien n'indique que ton polynôme à coefficients dans les polynômes formelles est séparable. Le contre exemple de l'article corps parfait dérive manifestement d'une construction de la même nature que la tienne, il devrait t'amuser.

Quel anneau quelconque ??? L'exemple de la page corps parfait est en accord avec ce que je dis en gras juste ci-dessus, car P'=0 dans l'exemple de la page corps parfait. Regarde bien...

Oui, oui, tu as raison. Et dire que c'est moi qui ai écrit l'article. L'affaire est néanmoins pas totalement élucidée. Prenons l'innocent polynôme P[X] = X⁴ + X² + 1. Sa dérivée 4X³ + 2X et lui ont bien l'air premier, pourtant X² + X + 1 au carré est bien égal à P[X], si sur l'anneau 1 + 1 = 0. On remarque que le polynôme dérivé est nul. L'affaire est limite. Par exemple, si tu choisis la dimension quatre ton morphisme d'évaluation donne (X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) =X²(X + 1)².

Je m'y attendais... Ok, tu veux évaluer le polynôme caractéristique générique en $(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) \in Z/2Z[X]$ , et alors tu arrives à quelle conclusion ? Tu as le droit de prendre toutes les spécialisations que tu veux, mais ce qui est bon, c'est quand elles amènent un résultat. Ta spécialisation n'apporte rien (je pense), la mienne montre que le polynôme caractéristique générique est séparable.

En fait, une analyse subtile montre que l'on tombe encore sur un cas de corruption. Oh cher révolutionnaire quelle est ta prochaine idée pour rester intègre face à de si obscènes attaques ? Ou peut-être ai-je mal compris ?

PS: Il faudrait ensuite retirer l'hypothèse que Z[Ω] est factoriel, je ne sais pas si c'est vrai, mais si cela l'est la démonstration doit se fonder sur le théorème des zéros de Hilbert largement plus complexe que celui de Cayley-Hamilton.

Tu ne sais pas que A factoriel => A[X] factoriel ?! Regarde sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel C'est bcp plus simple que le théorème des zéros !

PPS: Bravo pour cette nouvelle et belle idée, tu te rapproches manifestement. Jean-Luc W (d) 8 janvier 2008 à 14:47 (CET)

Ce n'est pas une nouvelle idée, cela fait partie du folklore algébrique. 8 janvier 2008 à 15:41 (CET)Leon1789 (d)

Ce n'est en effet pas une nouvelle idée en soit et fait partie du folklore, sage Saint-Juste. Mais l'utiliser dans l'article est nouveau. Jean-Luc W (d) 8 janvier 2008 à 16:46 (CET)