Fonction en escalier

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En analyse réelle les fonctions en escalier sont un des concepts de base de la théorie de l'intégration. Ce sont des fonctions constantes par morceaux, elles sont combinaison linéaire de fonctions indicatrices de segments (fonctions "créneaux"). On les utilise pour construire l'intégrale de Riemann.

[modifier] Définition

[modifier] Fonction en escalier sur un segment

Notamment, pour une fonction définie sur un segment I=[a1 ; an], une suite finie et strictement croissante a_1<a_2<\dots <a_{n-1}<a_n est appelée subdivision du segment I. Une fonction f est dite en escalier lorsqu'il existe une subdivision telle que f est égale à une constante Ci sur les intervalles ouverts ]ai ; ai+1[, pour i entier compris entre 1 et n-1.

Les valeurs de f aux points de la subdivision peuvent être distinctes des valeurs Ci.

On peut alors définir l'intégrale de cette fonction

\int_{a_1}^{a_n} f(t) d t = \int_I f = \sum_{i=1}^{n-1}C_i (a_{i+1}-a_i).

On prouve que cette définition ne dépend pas de la subdivision choisie. On remarque que les valeurs de f aux points de la subdivision n'entrent pas en ligne de compte.