Indétermination de la forme ∞/∞

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En analyse, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite l'infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s'applique, on dit que l'on a affaire à une indétermination de la forme $\scriptstyle\frac\infty\infty$ .

Par exemple:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}$

Pour lever l'indétermination, il existe de nombreux procédés, algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivée, du théorème des gendarmes ou du développement limité).

[modifier] Exemple

Pour lever la forme indéterminée ci-dessus, on peut par exemple poser une fonction telle que :

$\operatorname{\varphi}{(x)} =e^x-x$

En la dérivant, on obtient :

$\operatorname{\varphi^\prime}{(x)} =e^x-1$

Le tableau des variations de cette fonction nous apprend qu'elle est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$ , or $~\operatorname{\varphi}{(0)} =1$ , donc :

$\operatorname{\varphi}{(x)} \ge 0$

$e^x -x \ge 0$

$e^x \ge x$

On peut donc appliquer le théoreme des gendarmes :

$\left. \begin{matrix} \displaystyle{\frac{e^x}{x} \ge x} \\ \lim_{x \to +\infty} x=+\infty \end{matrix} \right\} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$