Inégalité de Bessel

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En géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Sommaire

[modifier] Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps K égal à celui des nombres réels ou complexes. Le produit scalaire est noté <,> et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|.

Enoncé pour une famille finie —  Soit une famille orthonormale de vecteurs (e1, ..., en). Alors pour tout vecteur x de E, l'égalité suivante est vérifiée :

\sum_{i=1}^n \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e1, ..., en.


Démonstration

L'espace vectoriel F engendré par la famille (ei) est de dimension finie, il est donc complet, (cf Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie). Par conséquent, comme un espace vectoriel est convexe, les hypothèses du théorème de projection sur un convexe fermé sont vérifiées et il existe une application p, qui à un vecteur de E associe sa meilleure approximation dans F, c'est à dire sa projection orthogonale.

Soit xi les coordonnées du vecteur p(x) dans la base (ei). On remarque que le vecteur de coordonnées xi - <p(x), ei> est orthogonal à tous les vecteurs de la base (ei), et à F tout entier. Ce vecteur est donc nul, on en déduit l'égalité :

p(x) = \sum_{i=1}^n \langle p(x),e_i\rangle \cdot e_i

Notons y le vecteur x - p(x), le théorème de la projection montre que y est orthogonal à x, on en déduit :

p(x) = \sum_{i=1}^n \langle p(x) + x - x,e_i\rangle \cdot e_i = \sum_{i=1}^n \langle x - ( x - p(x)) ,e_i\rangle \cdot e_i =\sum_{i=1}^n \langle x -y ,e_i\rangle \cdot e_i = \sum_{i=1}^n \langle x ,e_i\rangle \cdot e_i \quad \text {et}\quad y= x - \sum_{i=1}^n \langle x ,e_i\rangle \cdot e_i

Comme la famille (y, e1, ..., en) est orthogonale, l'égalité suivante est vérifiée :

\|x\|^2=\|y+\sum_{i=1}^n \langle x,e_i \rangle \cdot e_i\|^2 = \|y\|^2 +\sum_{i=1}^n\left| \langle x,e_i \rangle \right|^2

L'égalité n'a lieu que si y est nul, c'est à dire si x est un élément de F.

[modifier] Généralisation à une famille de vecteurs orthonormaux

Le résultat précédent reste vrai si la famille (ei) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable).

Enoncé dans le cas général —  Soit une famille orthonormale de vecteurs (ei). Alors pour tout vecteur x de E, l'égalité suivante est vérifiée :

\sum_{i \in I} \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille.

Cette majoration montre la convergence absolue de la série de terme général <ei, x>. Cette série contient, en conséquence, au plus un nombre dénombrable de termes non nuls.

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval. Une conséquence est la suivante :

Proposition —  Soit x un vecteur élément de l'adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille orthonormale de vecteurs (ei). Il existe une unique écriture de x comme limite d'une série de terme général λiei. La série est la suivante :

x=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i

Si la famille (ei) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, la formule devient :

\sum_{i\in I} \left|\frac{\langle x,e_i \rangle}{||e_i||}\right|^2\leq\|x\|^2


Démonstrations
  • Démonstration du cas général :

Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :

\sum_{j \in J} \left|\langle x,e_j \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

Ce résultat est vrai quelque soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la convergence absolue de la série et la majoration de l'énoncé. Toute série absolument convergente contient au plus un ensemble dénombrable de termes non nuls. En effet, si n est un entier strictement positif, l'ensemble des termes en valeur absolue ou en module strictement supérieurs à 1/n est fini, l'union de tous ces ensembles est nécessairement dénombrable car union dénombrable d'ensembles finis.

Si l'égalité à lieu, alors soit ε un réel strictement positif, il existe une sous-famille finie J de I tel que

\left| \sum_{j \in J} \left|\langle x,e_j \rangle\right|^2 - \|x\|^2\right|\le \epsilon

Soit FJ le sous-espace vectoriel engendré par la famille (ej) avec j élément de J et pJ la projection orthogonale sur FJ. La démonstration du paragraphe précédent montre que :

| p_J(x) - x |^2 = \left| \sum_{j \in J}\langle x,e_j \rangle\cdot e_j - x \right|^2 = \left|\left|\langle x,e_j \rangle\right|^2 + \|x\|^2 - 2 \sum_{j \in J} \langle x,e_j \rangle \overline{\langle x,e_j \rangle}\right|= \left| \|x\|^2 - \sum_{j \in J} \left| \langle x,e_j \rangle \right|^2 \right|\le \epsilon

Ce qui montre l'existence d'un vecteur pF(x) de l'espace vectoriel engendré par la famille à une distance inférieure à la racine carrée de ε, on en déduit que x est bien élément de l'adhérence recherchée.

Réciproquement, si x est élément de l'adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille, alors il existe une sous-famille finie J de I tel que la distance de x à l'espace engendré par la sous-famille est inférieure à ε. Cette distance est égale à la norme de x - pJ(x) et montre que la différence entre le carré de la norme de x et la somme de la série est inférieure au carré de ε et permet donc de conclure.

  • Démonstration de l'égalité suivante :
x=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i

Soit F l'ensemble des sous-familles finies de I. La démonstration précédente montre que :

\forall \epsilon > 0, \; \exists J \in \mathcal F, \; \forall F \in \mathcal F \quad J \subset F \Rightarrow \left| \sum_{j \in F}\langle x,e_j \rangle\cdot e_j - x \right| < \epsilon

Ce qui démontre l'égalité recherchée.

  • Démonstration de l'unicité de l'écriture de x :

Il suffit de démontrer l'unicité de l'écriture du vecteur nul. Soit (λi) une famille de scalaire telle que la série suivante converge vers le vecteur nul :

\sum_{i\in I} \lambda_i \cdot e_i = 0

Soit i0 un élément de I. Alors, l'inégalité de Bessel sur la famille {i0} montre que la norme du vecteur nul est supérieur au carré du module de λi0. On en déduit que λi0 est le scalaire nul. Ce raisonnement s'applique pour toute les coordonnées du vecteur nul et démontre qu'il n'existe qu'une unique écriture du vecteur nul dans la famille (ei), à savoir la série de terme général nul, ce qui démontre l'unicité.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens externes

[modifier] Références