Identités remarquables

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En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des réels, dans l'ensemble des nombres complexes, ou dans des anneaux de polynômes. Elles servent en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions.

Sommaire

1 Trois identités remarquables
2 Autres identités
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Liens externes

[modifier] Trois identités remarquables

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

$(a+b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2\,$
$(a-b)^2 \equiv a^2 - 2ab + b^2\,$
$(a-b)(a+b) \equiv a^2 - b^2\,$

[modifier] Autres identités

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

$(a + b)^3 \equiv a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,$
$(a - b)^3 \equiv a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,$
$a^3 + b^3 \equiv (a + b) (a^2 - ab + b^2)\,$
$a^3 - b^3 \equiv (a - b) (a^2 + ab + b^2)\,$

$(a + b)^4 \equiv a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 +4ab^3 + b^4\,$
$(a - b)^4 \equiv a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 -4ab^3 + b^4\,$
$a^4 + b^4 \equiv (a^2 + ab\sqrt{2}+ b^2 ) (a^2 - ab\sqrt{2} + b^2 )\,$
$a^4 - b^4 \equiv (a - b) (a + b)(a^2 + b^2)\,$

$(a + b)^5 \equiv a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\,$
$(a - b)^5 \equiv a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\,$
$a^5 + b^5 \equiv (a + b) (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)\,$
$a^5 - b^5 \equiv (a - b) (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)\,$

$a^6 + b^6 \equiv (a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4)\,$
$a^6 - b^6 \equiv (a + b) (a - b) (a^2 + ab + b^2) (a^2 - ab + b^2)\,$

$a^7 + b^7 \equiv (a + b) (a^6 - ab^5 + a^2b^4 - a^3b^3 + a^4b^2 - a^5b + b^6) \,$
$a^7 - b^7 \equiv (a - b) (a^6 + ab^5 + a^2b^4 + a^3b^3 + a^4b^2 + a^5b + b^6) \,$