Hypothèse H de Schinzel

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En mathématiques, l'hypothèse H de Schinzel est une très large généralisation de conjectures telles que la conjecture des nombres premiers jumeaux. Elle a pour objectif de définir l'envergure maximale possible d'une conjecture sur la nature qu'une famille

$f_{i}(n)\,$

de valeurs de polynômes irréductibles $f(t)\,$ peut être capable de prendre sur les valeurs de nombres premiers simultanément, pour un entier $n\,$ , qui peut être aussi grand que l'on souhaite. Dit d'une autre manière, il peut y avoir infiniment beaucoup de tels n, pour lesquels chacun des

$f_{i}(n)\,$

sont des nombres premiers.

Une telle conjecture doit être sujette à certaines conditions nécessaires. Par exemple, si nous prenons les deux polynômes $x+4\,$ et $x+7\,$ , il n'y a pas de $n > 0\,$ pour lequel $x+4\,$ et $x+7\,$ sont tous les deux premiers. Ceci parce que l'un des deux sera un nombre pair > 2, et l'autre un nombre impair. La question principale dans la formulation de la conjecture est d'éviter ce phénomène.

Ceci peut être fait par le concept de polynôme à valeurs entières. Cela nous permets de dire qu'un polynôme à valeur entière $Q(x)\,$ possède un diviseur fixé m s'il existe un entier $m > 0\,$ tel que

$\frac{Q(x)}{m}\,$

est aussi un polynôme à valeur entière. Par exemple, nous pouvons dire que

$(x+4)(x+7)\,$

possède un diviseur fixé égal à 2. Pour

Q(x) = Π f_i(x)

de tels diviseurs fixés doivent être évités pour toute conjecture, puisque leur présence permet rapidement de contredire la possibilité que $f_{i}(n)\,$ peuvent être tous des nombres premiers, lorsque n prend de grandes valeurs.

Par conséquent, la forme standard de l'hypothèse H est la suivante : si Q défini comme ci-dessus ne possède pas de diviseur premier fixé, alors tous les $f_{i}(n)\,$ seront simultanément premiers, infiniment souvent, pour tout choix de polynômes intégraux irréductibles $f_{i}(x)\,$ a coefficients initiaux positifs.

Si les coefficients initiaux sont négatifs, nous pouvons nous attendre à des valeurs de nombres premiers négatives; ceci est une restriction inoffensive. Il y a probablement pas de raison réelle de restreindre aux polynômes intégraux, plutôt qu'aux polynômes à valeurs entières. La condition de n'avoir pas de diviseur fixé premier est certainement vérifiable dans un cas donné, puisqu'il y a une base explicite pour des polynômes à valeurs entières. Comme cet exemple simple,

$x^{2} + 1\,$

n'a pas de diviseur fixé premier. Par conséquent, nous pouvons nous attendre à ce qu'il y ait infiniment beaucoup de nombres premiers

$n^{2} + 1\,$ .

Ceci n'a pas été prouvé, néanmoins.

L'hypothèse n'est probablement pas accessible avec les méthodes actuelles de la théorie analytique des nombres, mais elle est maintenant relativement utilisée pour prouver des résultats conditionnels, par exemple en géométrie diophantienne. Le résultat conjecturel semble trop fort par nature, il est possible qu'il sera montré comme trop à espérer.

L'hypothèse ne couvre pas la conjecture de Goldbach, mais une version, l'(hypothesis H_N) l'est. Celle-ci requiert un polynôme F(x), lequel, dans le problème de Goldbach serait juste x, pour lequel

$N - F(n)\,$

est requis pour être un nombre premier. Ceci est cité dans les méthodes de crible de Halberstam et Richert. La conjecture, ici, prend la forme d'un énoncé quand N est suffisamment grand, et est sujet à la condition

$Q(n)(N - F(n))\,$

n'a pas de diviseur fixé > 1. Alors, nous devrions être capable de demander l'existence de n tel que $N - F(n)\,$ est à la fois positif et un nombre premier; et avec $f_{i}(n)\,$ tous nombres premiers.

Il n'y a pas beaucoup de cas connus de ces conjectures; mais il existe une théorie quantitative détaillée (la conjecture Bateman-Horn).

La condition de ne pas avoir de diviseur premier fixé est purement locale (dépendant des nombres premiers). En d'autre mots, un ensemble fini de polynômes à valeurs entières irréductibles sans obstruction locale prenant infiniment beaucoup de valeurs premières est conjecturée pour prendre infiniment beaucoup de valeurs premières. La conjecture analogue avec les entiers remplacée par l'anneau des polynômes à une variable sur un corps fini est fausse. Par exemple, Swan nota en 1962 (pour des raisons non liées à l'Hypothèse H) que le polynôme $x^{8}+u^{3}\,$ sur l'anneau $F_2\,$ [u] est irréductible et ne possède pas de diviseur polynomial premier fixé (ses valeurs à x = 0 et x = 1 sont relativement des polynômes premiers) mais toutes ses valeurs de x sur $F_2\,$ [u] sont composées. Des exemples similaires peuvent être trouvés avec $F_2\,$ remplacé par tout anneau fini ; les obstructions dans une formulation correcte de l'Hypothèse H sur F[u], où F est un corps fini, sont simplement locales mais une nouvelle obstruction apparaît avec aucun parallèle classique.