Homomorphisme du flux

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En géométrie symplectique, l'homomorphisme du flux est un homomorphisme du revêtement universel de la composante neutre du groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique compacte (M,ω) dans le premier groupe de cohomologie de M à coefficients réels :

Flux:\widehat{Symp_0}(M,\omega)\rightarrow H^1(M,\mathbf R).


Si Ψ est un arc différentiable de symplectomorphismes, on définit :

X_t\circ\Psi_t=\frac{d}{dt}\Psi_t.

Xt est un champ localement hamiltonien, ie ι(Xt)ω est une 1-forme différentielle fermée sur M. En définissant H^1(M,\mathbf R) comme le premier groupe de cohomologie du complexe de de Rham, on pose :

Flux(\Psi)=\int \left[\iota(X_t)\omega\right] dt.

En tant que groupe commutatif, H^1(M,\mathbf R) est isomorphe au groupe des homomorphismes \pi_1(M)\rightarrow \R. L'élément Flux(Ψ) peut se redéfinir comme suit :

Flux(Ψ)(α) = ∫ ω
Ψα
.

où Ψα désigne l'application \mathbf T^2\rightarrow M définie par :

\Psi\alpha(t,s)=\Psi_t\left[\alpha(t)\right].

Il a été démontré que Flux(Ψ) est nul ssi Ψ est isotope à extrémité fixé à un flot hamilitonien. En particulier, dans ce cas, Ψ1 est un difféomorphisme hamiltonien.

L'image du groupe fondamental de Symp0(M,ω) sous l'homomorphisme du Flux est un sous-groupe de H1(M,ω) appelé le groupe de Calabi Γ.