Formulaire de mécanique

$\overrightarrow{v}(M)=\frac{ \text{d} \overrightarrow{OM} }{ \text{d} t }=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}\overrightarrow{u_x}+\frac{\text{d} y}{\text{d} t}\overrightarrow{u_y}+\frac{\text{d} z}{\text{d} t}\overrightarrow{u_z}$

$\overrightarrow{a}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{v}(M)}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \overrightarrow{OM}}{\text{d} t^2}=\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}\overrightarrow{u_x}+\frac{\text{d}^2 y}{\text{d} t^2}\overrightarrow{u_y}+\frac{\text{d}^2 z}{\text{d} t^2}\overrightarrow{u_z}$

[modifier] En coordonnées cylindriques

$\overrightarrow{OM}=\rho\overrightarrow{u_\rho}+z\overrightarrow{u_z}$

$\overrightarrow{v}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{OM}}{\text{d} t}= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\overrightarrow{u_\rho}+\rho\frac{\text{d} \phi}{\text{d} t}\overrightarrow{u_{\phi}}+\frac{\text{d} z}{\text{d}t}\overrightarrow{u_z}$

$\overrightarrow{a}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{v}(M)}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \overrightarrow{OM}}{\text{d}t^2}=\left(\frac{\text{d}^2 \rho}{\text{d} t^2}-\rho\left(\frac{\text{d} \phi}{\text{d} t}\right)^2\right)\overrightarrow{u_\rho}+\left(2\frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\frac{\text{d} \phi}{\text{d} t}+\rho\frac{\text{d}^2 \phi}{\text{d}t^2}\right)\overrightarrow{u_{\phi}}+\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2}\overrightarrow{u_z}$

En utilisant: $\displaystyle \frac{\text{d} \overrightarrow{u_\rho}}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t}\overrightarrow{u_{\phi}}$ et $\frac{\text{d} \overrightarrow{u_{\phi}}}{\text{d} t}=-\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t}\overrightarrow{u_\rho}$

[modifier] En coordonnées sphériques

$\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{u_r}$

$\overrightarrow{v}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{OM}}{\text{d} t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\overrightarrow{u_r}+r\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\overrightarrow{u_{\theta}}+r \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin \theta\overrightarrow{u_\varphi}$

$\overrightarrow{a}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{v}(M)}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \overrightarrow{OM}}{\text{d}t^2}=a_r\overrightarrow{u_r}+a_\theta\overrightarrow{u_\theta}+a_\varphi\overrightarrow{u_\varphi}$

avec:

$a_r=\left(\frac{\text{d}^2r}{\text{d}t^2}-r\left(\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\right)^2+r\left(\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\right)^2\sin^2\theta\right)$

$a_\theta=\left( r \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d}t^2} +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}-r\left( \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \right)^2\sin \theta \cos \theta\right)$

$a_\varphi=\left( r \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}t^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\sin \theta + 2r\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\cos \theta\right)$

[modifier] Changement de référentiel

Vitesse d'entraînement: $\overrightarrow{v_e}(M)=\displaystyle \left( \frac{\text{d} \overrightarrow{OO'}}{\text{d} t} \right)_R+\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{O'M}$

Loi de composition des vitesses: $\overrightarrow{v_R}(M)=\overrightarrow{v_{R'}}(M)+\overrightarrow{v_e}(M)$

Accélération d'entraînement: $\overrightarrow{a_e}(M)=\displaystyle \left(\frac{\text{d}^2\overrightarrow{OO'}}{\text{d} t^2} \right)_R+ \frac{\text{d} \overrightarrow{\Omega}}{\text{d} t} \wedge \overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \left( \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{O'M} \right)$

Accélération de Coriolis: $\overrightarrow{a_c}(M)=2\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{v_{R'}} (M)$

Loi de composition des accélérations: $\overrightarrow{a_R}(M)=\overrightarrow{a_{R'}}(M)+\overrightarrow{a_e}(M)+\overrightarrow{a_c}(M)$

[modifier] Dynamique

[modifier] Quelques forces

Poids: $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$

Interaction électromagnétique: $\overrightarrow{F_{1\rightarrow 2}}=\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{(M_1 M_2)^3}\overrightarrow{M_1 M_2}$

Interaction gravitationnelle: $\overrightarrow{G_{1\rightarrow 2}}=-\mathcal{G} \displaystyle \frac{m_1m_2}{(M_1 M_2)^3}\overrightarrow{M_1 M_2}$

Tension d'un ressort: $\overrightarrow{T}=-k(l-l_0)\overrightarrow{u}$

Frottement fluide: $\overrightarrow{F}=-\lambda \overrightarrow{v}$

Force d'inertie d'entraînement: $\overrightarrow{f_{i_e}}=-m\overrightarrow{a_e}$

Force d'inertie de Coriolis: $\overrightarrow{f_{i_c}}=-m\overrightarrow{a_c}$

[modifier] Principe fondamental de la dynamique

Vecteur quantité de mouvement: $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}(M)$

Principe fondamentale de la dynamique: $\displaystyle \frac{\text{d}\overrightarrow{p}(M)}{\text{d}t}= \sum \overrightarrow{f}+\overrightarrow{f_{i_e}}+\overrightarrow{f_{i_c}}$

Principe des actions réciproques: $\overrightarrow{f_{A \rightarrow B}}=-\overrightarrow{f_{B \rightarrow A}}$

[modifier] Aspect énergétique

Travail élementaire d'une force : $\delta W(M)=\overrightarrow{f}\cdot\text{d} \overrightarrow{OM}$

Travail le long d'un chemin $Γ A B$ : $\displaystyle W_{A \rightarrow B}=\int_{M \in \Gamma_{AB}} \delta W(M)=\int_{M \in \Gamma_{AB}}\overrightarrow{f}\cdot\text{d} \overrightarrow{OM}$

Puissance : $\mathcal{P}=\displaystyle \frac{\delta W}{\text{d} t}$

On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point : $\mathcal{P}=\overrightarrow {F}\cdot\overrightarrow{v}{(M)}$

Énergie cinétique d'un point matériel : $E_c(M)=\displaystyle \frac{1}{2}mv^2(M)$

Théorème de l'énergie cinétique : $\displaystyle \Delta E_c=\sum W(f)+W(f_{i_e})+W(f_{i_c})$

Énergie mécanique: $E m = E c + E p$

[modifier] Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Pesanteur: $E_p(\overrightarrow{P})=mgz+C$

Ressort: $E_p(\overrightarrow{T})=\displaystyle \frac{1}{2}k(l-l_0)^2+C$

force de Coulomb: $E_p(\overrightarrow{F})=\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{r}$

Gravitation: $E_p(\overrightarrow{G})=\displaystyle -\mathcal{G} \frac{m_1m_2}{r}$

[modifier] Notion de Moment

Moment cinétique d'un point $M$ : $\overrightarrow{L_O}(M)=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{v}(M)$

$\overrightarrow{L_{O'}}(M)=\overrightarrow{L_O}(M)+\overrightarrow{O'O} \wedge m\overrightarrow{v}(M)$

Moment d'une force $\overrightarrow{f}$ par rapport à $O$ : $\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{f}$

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{f})+\overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{f}$

Théorème du moment cinétique: $\frac{\text{d} \overrightarrow{L_O}(M)}{\text{d} t}=\sum \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{f})+\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{f_{i_e}})+\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{f_{i_c}})$

[modifier] Oscillateur

[modifier] Oscillateur harmonique (sans amortissement):

Equation différentielle de la forme : $\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}+\omega_0^2x=0$

Pulsation propre : $ω 0 =$ ; Période propre: $T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}$

Solution sous la forme: $x (t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t)$

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

[modifier] Oscillateur avec facteur d'amortissement $λ$ :

Equation différentielle de la forme : $\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} x}{\text{d} t}+\omega_0^2x=0$

Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

$\Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)$

$\ast$ si $Δ < 0$ soit $λ < ω 0$ , alors $x(t)=e^{-\lambda t}\left[A \cos(\Omega t)+B \sin(\Omega t)\right]$ (régime pseudo-périodique)

Pseudo-pulsation : $\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$ ; Pseudo-période : $T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}$

$\ast$ si $Δ = 0$ soit $λ = ω 0$ , alors $x (t) = (A t + B) e - λ t$ (régime critique)

$\ast$ si $Δ > 0$ soit $λ > ω 0$ , alors $x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t})$ (régime apériodique)

Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

[modifier] Liens internes

Portail de la physique

Catégorie cachée : Wikipédia:ébauche physique

Formulaire de mécanique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire