Fonction de Morse
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En analyse, on appelle fonction de Morse toute fonction différentiable de classe au moins C2, et dont les points critiques sont non-dégénérés (c.-à-d. dont la matrice hessienne est une forme quadratique non dégénérée). À un niveau élémentaire, les fonctions de Morse se définissent sur les ouverts de Rn ; en géométrie différentielle, elles se définissent plus généralement sur les variétés différentielles.
En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme.
Sommaire |
[modifier] Non-dégénérescence d'un point critique
Articles détaillés : Matrice hessienne et Point critique.Pour une fonction f de classe C2 définie sur un voisinage de 0 de Rn, la hessienne de f en 0, notée Hessf est toujours bien définie. C'est la forme quadratique définie sur Rn définie par :
.
Il est à remarquer que cette définition est en soi non triviale car utilise implicitement le théorème de Cauchy. Cependant, si 0 est un point critique de f, et pour tout difféomorphisme local g en 0 avec g(0)=0, il vient :
Cette formule autorise de parler de la hessienne d'une fonction de classe C2 sur une variété différentielle en ses points critiques.
Une fonction f : M → R est dite de Morse lorsque pour tous ses points critiques x, la hessienne de f en x est une forme quadratique non dégénérée sur l'espace tangent Tx M.
[modifier] Comportement local en un point critique
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