Fonction de Clausen

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En mathématiques, la fonction de Clausen est définie par l'intégrale suivante :

\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \,dt.

Plus généralement, on définit

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}.

Elle est reliée au polylogarithme par

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \Im (\operatorname{Li}_s(\exp(i \theta))).

Ernst Kummer et Rogers donnent la relation

\operatorname{Li}_2(\exp(i \theta)) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta) + i\operatorname{Cl}_2(\theta)

valide pour 0\leq \theta \leq 2\pi.

Pour les valeurs rationnelles de \frac{\theta}{\pi}\, (c’est-à-dire, pour \frac{\theta}{\pi}=\frac{p}{q}\, pour certains entiers p et q), la fonction \sin(n\theta)\, peut être comprise comme représentant une orbite périodique d'un élément dans le groupe cyclique, et ainsi \operatorname{Cl}_s(\theta)\, peut être exprimé comme une simple somme impliquant la fonction zêta d'Hurwitz.

[modifier] Accélération du calcul de la série

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par:

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 1-\log|\theta| - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n

Qui est valable pour | θ | <2 π. Ici, ζ(s) est la fonction zêta de Riemann.

Une forme convergent plus rapidement est donnée par:

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right] -\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n

La convergence de cette série est dû au fait que ζ(n) − 1 approche de zéro rapidement pour de grandes valeurs de n. Ces deux formes sont générer grace aux types de techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle.

[modifier] Valeur spéciale

On peut noter l'évaluation suivante :

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K

où K est la constante de Catalan.

[modifier] Publications en langue anglaise

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 . See section 27.8
  • Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2
  • Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall, « Computational Strategies for the Riemann Zeta Function », dans J. Comp. App. Math., 121, p. p.11
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