Discuter:Fonction δ de Dirac

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Sommaire

[modifier] Définition japonaise

La fonction de delta de Dirac \delta : \mathbb{R} \ni \xi \longrightarrow \delta ( \xi )\in \delta(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R} est une distribution δ(ξ) dont une primitive est la fonction

h : \mathbb{R} \ni \xi \longrightarrow \frac{1+{\rm sgn} \xi }{2} \in \mathbb{R},

habituellement appelée la fonction de Heaviside. C'est-à-dire, elle satisfait l'équation intégrale

pour tout nombre réel x, \int^{x}_{-\infin} \delta (t) dt = h(x)

???????

[modifier] Erreur ?

La transformée de Fourier de δ a la valeur 1 ici, et \frac{1}{\sqrt{2\pi}} sur le wikipédia anglophone. Qui a raison ? Est-ce juste une convention ?

Pour ce que j'en sais, il existe plusieurs conventions pour définir la transformée de Fourier, selon que l'on veuille faire dépendre le résultat d'une fréquence (version fr) ou d'une pulsation (version en, avec la normalisation qui s'en suit, qui fait qu'on divise le résultat par \sqrt{2\pi} ... bon, ce serait bien que quelqu'un vérifie ce que je raconte ;-) ). Reste à voir si le résultat donné ici est cohérent avec la définition de la transformée donnée sur fr.wikipedia. Si je ne me suis pas trop emmêlé les pinceaux, c'est bien le cas. --Ąļḋøø 5 nov 2004 à 14:16 (CET)





La transformée de Fourier de la "fonction" impulsion de Dirac a bien la valeur 1 tout comme sa tronsformée de Laplace, c'est la seule "fonction" ayant cette propriété

Comme il est dit ci-dessus, il existe plusieurs définitions de la transformée de Fourier, ce qui entraîne un certain nombre de confusions. Essayons d'éclaircir ce point.

  • Il est (peut-être) bon d'illustrer le problème de manière concrète en considérant que la transformation de Fourier associe à une fonction du temps x(t) une description de son contenu en fréquences X(f). La transformation inverse est identique, à un changement de signe près :
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i 2 \pi f t} dt \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{i 2 \pi f t} df [1]
  • Dans les problèmes pratiques, on préfère généralement travailler en pulsations ω = 2 π f, ce qui conduit à introduire quelque part un facteur 2 π pour assurer la cohérence des formules.
    • La formule la plus utilisée est obtenue en conservant la formule de reconstitution du signal à partir de sa transformée (l'étoile permet de distinguer la nouvelle transformée de l'ancienne) :
X*(\omega) d\omega = X(f) df \qquad X*(\omega) = {1 \over {2 \pi}} X(f)

ou, en oubliant l'étoile :

X(\omega) = {1\over {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} dt \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{i \omega t} d\omega [2]
    • Cette transformation peut être modifiée en multipliant par un facteur donné l'expression de la transformée et en divisant par le même facteur l'expression de la transformée inverse dans la seconde. En utilisant le facteur √(2π) on retrouve la symétrie observée avec les fréquences :
X(\omega) = {1\over \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} dt \qquad x(t) = {1\over \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{i \omega t} d\omega [3]
    • En multipliant par 2π on aurait obtenu :
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} dt \qquad x(t) = {1\over {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{i \omega t} d\omega [4]
  • Conclusions
    • Pour la transformée de Fourier du delta on obtient :
[1] : 1     [2] : 1/2π     [ 3] : 1/√(2π)     [4] : 1

Cette transformée dépend, comme celle de toute autre fonction, de la définition retenue. Ce qui n'en dépend pas, c'est l'intégrale du delta égale à 1 : c'est la conséquence immédiate de la première formule donnée dans l'article.

    • La variété des définitions conduit à des confusions dès lors qu'un auteur ne précise pas à quelle définition il se réfère. Pour revenir à la question initiale, le paragraphe Fourier Transform de l'article de en.wikipedia semble (?) utiliser la définition [3] pour calculer la transformée du delta et la définition [4] pour exprimer la transformée inverse.
  • Question en passant sur les deux discussions voisines : qui peut me dire ce qu'a de japonais la définition intuitive décrite dans le paragraphe Exemple élémentaire selon laquelle on peut considérer la «fonction» impulsion comme la dérivée de la fonction échelon ? On pourrait aussi m'éclairer sur la signification de l'équation intégrale lorsque x = 0. Jct 16 janvier 2006 à 10:23 (CET)

[modifier] Japanese definition

Dirac delta function \delta : \mathbb{R} \ni \xi \mapsto \delta ( \xi )\in \delta(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R} is a distribution whose image δ(ξ) is homeomorphic to the function h : \mathbb{R} \ni \xi \mapsto \frac{1+{\rm sgn} \xi }{2} \in \mathbb{R} and satisfies the integral equation as follows:

\int^{x}_{-\infin} \delta (t) dt = h(x)    {\rm for} \ \ \forall x \in \mathbb{R} .



[modifier] Masse de Dirac = singularité

La Fonction δ de Dirac est aussi appelée Masse de Dirac. Par ailleurs, j'aimerai savoir si l'on peut dire quelque constitue/définie une singularité. Ce serait un point à signaler.   <STyx

[modifier] Point de vue

Cet article me gêne beaucoup. La « fonction » de Dirac n'est pas une fonction et l'objet dont on parle ici ne peut être défini correctement que dans le cadre des distributions. Je comprends bien que pour des raisons à la fois historiques et pédagogiques il peut être intéressant de ne pas se restreindre à l'article Distribution de Dirac (qui gagnerait beaucoup à être réécrit, soit dit en passant) et de présenter l'objet d'un point de vue plus intuitif, comme limite d'une suite de fonctions. Cependant, une bonne partie du contenu présent de cet article aurait plutôt sa place dans Distribution de Dirac (présentation de l'objet en tant que distribution) et le reste manque singulièrement de rigueur mathématique. Par exemple, une intégrale de fonction qui n'en est pas, comme \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x-x_0) dx = f(x_0). D'autre part, il existe un article de 3 lignes Mesure de Dirac qu'il serait bien d'intégrer ici. Qu'en pensez-vous ? Mhon | (discuter) 28 mai 2006 à 15:34 (CEST)

quelle pagaille en effet ! j'ai vu que tu avais commencé à retravailler l'article sur les distributions qui en avait bien besoin. Pour le delta de Dirac, les trois points de vue existent : point de vue informel du physicien, point de vue distribution, et point de vue "mesure" (qui est une définition mathématiquement correcte aussi, au passage : on fait de la dualité sur un autre espace).
À mon avis, les trois doivent être présentés dans le même article. Je pense qu'il faut accepter de gérer les contradictions : les physiciens notent ces horribles intégrales et parlent de fonctions. Il faut accepter ce fait, mais dire le droit, c'est à dire signaler à chaque fois que c'est un abus. Je verrais donc un plan de la forme
  1. Le Dirac du physicien -> avec signalisation des abus et renvoi à la suite
  2. Le Dirac du mathématicien qui peut être vu comme une mesure
  3. Le lien final entre tout cela : Dirac est une distribution, limite des approx de l'unité
ainsi on a un article qui examine les différentes facettes. Éventuellement la partie III pourrait rester schématique, et serait développée dans l'article distribution de Dirac, avec dérivée, convolution... par contre mesure de Dirac est effectivement en surnombre, il faudrait en faire une redirection. Dernier problème : avoir le symbole grec δ dans le titre est-il une bonne idée ? ne vaut-il pas mieux delta en toutes lettres ? Peps 28 mai 2006 à 16:31 (CEST)
je suis tout à fait d'accord avec Peps pour fusionner tous ces articles et en y incluant les divers points de vue/notations de physiciens/matheux. LeYaYa 28 mai 2006 à 21:10 (CEST)
J'ai commencé un brouillon d'article intitulé Utilisateur:Mhon/Delta de Dirac qui regrouperait les trois articles en question. De mon point de vue, cela n'empêche pas d'avoir un article Distribution de Dirac plus spécifique. Le paragraphe d'intro et la définition formelle sont originaux (la dernière est librement traduite de l'article italien it:Delta di Dirac), le reste n'est qu'une grossière compilation (pour donner une idée du plan) à retravailler en profondeur. Malheureusement, je n'ai pas trop le temps pour moi, que les bonne âmes volontaires ne se gênent pas pour aller améliorer le brouillon avant de le mettre sur une vraie page. Mhon | (discuter) 29 mai 2006 à 11:54 (CEST)


Je suis en partie daccord avec vous. Et comme je suis physicien, je donne mon point de vue. Déjà du point de vue de la recherche : pour un physicien, distribution de Dirac ne signifie rien, il faut garder le terme de fonction de dirac (quitte à préciser que c'est un abus). De plus, il faudrait préciser pourquoi ce n'est pas une fonction ! Moi, je ne voi pas. de plus, le physicien voi l'intégrale comme une somme continue, et là encore je ne voi pas le problème avec l'intégrale. Pour finir, même si on commet des erreurs avec ce 'delta', il est très couramment utilisé et mérite tout à fait une place à part entière.et tout à fait daccord pour mesure de Dirac que je verrai bien rentré dans l'article distribution. Char Snipeur 6 novembre 2006 à 21:39 (CET)

Ce que "voit" le physicien, on s'en moque un peu... Ici on fait des mathématiques! Mû 14 août 2007 à 11:44 (CEST)
Quel mépris envers les non-mathématiciens... dont certains utilisent ces notions de manière plus constante (et peut-être plus efficace) que les mathématiciens. Il s'agit d'une attitude bien française (ce n'est pas de la xénophobie, je suis français) : les notions scientifiques doivent être assez abstraites pour être réservées aux spécialistes. J'ai tendance à croire que le rôle d'une encyclopédie est de fournir des informations aux non-spécialistes mais je me trompe certainement. Jct 15 août 2007 à 11:36 (CEST)
Il ne faut pas confondre "fournir des informations au non-spécialiste" et "créer la confusion chez les novices". Tout n'est pas vulgarisable! Mû 15 août 2007 à 12:19 (CEST)