Discuter:Extension de corps

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[modifier] Purement transcendant

"Si tout élément de L est transcendant sur K, l'extension est dite purement transcendante."

cela parait bizarre car L contient des éléments de K et ces éléments sont nécessairemnt algébriques sur K. Quelle est la bonne définition? HB 8 avr 2005 à 21:50 (CEST)

J'ai proposé ceci: Si L est engendré par une famille d'éléments transcendants sur K, l'extension est dite purement transcendante. Cela paraît moins faux (ref wikipedia anglo-saxon ou springerlink. Jean-Luc W 17 octobre 2006 à 13:24 (CEST)

En fait cela permet de dire que l'extension L de K est transcendante. Pour être purement transcendante, il faut que la famille en question soit algébriquement indépendante. Par exemple si K=Q et L=Q(\pi, \sqrt{2}). Elle est engendrée par \pi et \pi+\sqrt{2} qui sont transcendants, mais l'extension elle-même n'est pas purement transcendante. Liu (d) 14 avril 2008 à 00:33 (CEST)

[modifier] Questions sur le degré

une tite question (d'un bac+1 => réponse simple svp :) ) est-ce que [L:K]=n <=> L isomorphe à K^n ?? et pourquoi est-ce que [R:Q]= ce N tordu qui est (à ce que j'ai compris) un infini ?

merci bcp :)

[L:K]=n <=> L isomorphe à K^n ? Réponse oui

. (se lit aleph1) . En effet R est un espace vectoriel sur Q, Quand on cherche une base de cet espace vectoriel, on prouve qu'il n'en existe pas de fini donc R est un espace vectoriel de dimension infinie sur Q. mais il existe plusieurs infinis. On démontre que R ne possède pas de base infinie dénombrable, donc le degré de R n'est pas Aleph0 (qui est le cardinal de N ou celui de tout ensemble infini dénombrable). Une base qui permettrait d'engendrer R comme espace vectoriel sur Q comporterait une infinité non dénombrable d'éléments. On démontre que cet infinité correspond à aleph1 qui est le cardinal de R. HB 5 mai 2007 à 08:49 (CEST)

Je ne sais pas si c'est utile de donner la notation [L:K] lorsque l'extension est infinie. Je suis en effet un peu inquiet sur la validité de la formule [M:K]=[M:L][L:K] dans le cas infini. Question subsidiaire: pourquoi dans d'autres articles sur les extensions on parle de dimension au lieu du degré ? Liu (d) 14 avril 2008 à 00:42 (CEST)

[modifier] Définition d'une extension

Une fois qu'on a défini les extensions comme des couples (L, j), on a naturellement la notion d'isomorphismes d'extensions. La propriété que j'évoque dans l'article dit que (L, j) est toujours isomorphe, en tant qu'extension de K, à un (N, i) avec i = inclusion. C'est plus naturel que d'identifier K à j(K) et ça éviter le paradoxe avec les automorphismes de K. Liu (d) 14 avril 2008 à 00:33 (CEST)