Espace semimétrique

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En mathématiques, un espace semimétrique est un cas particulier d'espace pramétrique, qui ne possède que deux des trois propriétés d'un espace métrique, ne nécessitant pas la vérification de l'inégalité triangulaire.

[modifier] Définition

Un espace semimétrique $\left( M,\mathrm d \right)$ est la donnée d'un ensemble $M$ est d'une fonction $\mathrm d : M \times M \to \R^{+}$ , appelée fonction semimétrique (ou semimétrique), qui vérifie les conditions suivantes :

$\mathrm d \left(x,y \right)\ge 0$ (positivité, héritée) ;
$\mathrm d \left(x,y\right) = 0\mbox{ si et seulement si } x=y$ (indiscernabilité) ;
$\mathrm d \left(x,y\right)=\mathrm d \left(y,x\right)$ (symétrie)

Si la semimétrique vérifie l'inégalité triangulaire, alors c'est une métrique, et l'espace associé devient espace métrique.

[modifier] Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semimetric space ».

[modifier] Bibliographie

A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin : General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4
L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr. : Counterexamples in Topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..