Discuter:Entier algébrique
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[modifier] A revoir
Cet article ne va pas. J'ai corrigé quelques erreurs les plus évidentes dans les définitions, mais je crois que les exemples doivent venir plus tôt et je ne suis pas convaincue qu'une définition formelle pour commencer est la bonne solution. Avis bienvenus, --Cgolds (d) 17 janvier 2008 à 18:45 (CET)
C'est le moins que l'on puisse dire. Le problème était le même que celui de la théorie de Galois. Inclure dans l'encyclopédie un savoir minimal sur les entiers algébriques demande l'apport de plus d'une dizaine d'articles lourd. J'ai pensé faire quelque chose, mais je suis finalement parti sur autre chose. Tant que la dizaine d'articles satellite n'est pas présent, WP ne contiendra aucune connaissance sérieuse sur ce vaste sujet, à mon avis. Nous sommes alors condamné, soit à remplacer le savoir par des mots qui sonneront creux pour le lecteur intéressé mais pas au fait du sujet, soit à une vision bien naïve. Jean-Luc W (d) 17 janvier 2008 à 19:25 (CET)
Youpi, il va falloir, etc...Je comprends le problème, je voltige en corrigeant des broutilles particulièrement gênantes, mais j'ai un peu de mal à faire une vraie refonte rapidement. Courbe elliptique a encore du chemin à parcourir, par exemple. Bon, j'y retourne ! --Cgolds (d) 17 janvier 2008 à 20:26 (CET)
[modifier] Fermeture vs. clôture intégrale
En français on distingue entre fermeture et clôture intégrales. La première est l'objet défini au milieu du § "Définitions" (généralisable à un sur-anneau quelconque K de A), la seconde est la fermeture intégrale de A dans son corps des fractions (qui est un sous-corps de K ...) - j'ai donc substitué à clôture: fermeture. Remarque: si la clôture intégrale de A est égale à A, on dit que A est intégralement clos. Il manque encore en français un article sur les anneaux intégralement clos. Voir toutefois ceci. Exemple: tout anneau factoriel est intégralement clos, notamment celui des entiers rationnels. Dans le § sur les entiers d'Eisenstein que j'ai rempli - il était vide -, le lien wiki encore rouge va vers "Fermeture intégrale" parce que dans Anneau de Dedekind il y a le même lien, qui m'a donc servi de modèle. C'est donc en fait un article avec ce nom, contenant la notion d'ann. int. clos, qu'il faudrait faire. A moins de se contenter du passage ci-dessus, auquel cas les liens sont à modifier.)
C'est un peu la même chose qu'avec fermeture vs. clôture algébrique; là aussi, attention aux traductions depuis l'anglais. (Une clôture algébrique d'un corps commut. K est la fermeture algébrique de K dans un surcorps algébriquement clos de K. Un tel surcorps existe toujours, donc une cl. alg. de K et celle-ci est unique à un iso' sur K près.) Je n'ai pas été voir si là aussi des corr. seraient à faire.--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 18 janvier 2008 à 23:34 (CET)
J'ai cherché et trouvé les deux usages (phénomènes courants, l'anglicisme devient normal, mais à vrai dire j'ai eu la flemme de chercher quand le vocabulaire se normalise en français ou suisse, en particulier si c'est avant Bourbaki). L'important bien sûr si on veut utiliser clôture aussi dans le premier cas, c'est de préciser le corps de référence. En revanche, je ne suis pas sûre que la distinction soit faire correctement dans anneau et ses dérivés...Les traductions ont souvent été faites par un contributeur particulier (Jim2k)qui ne contribue plus, il semble, et il y a beaucoup, beaucoup, de problèmes (dont le premier est qu'il n'a presque jamais indiqué par un bandeau qu'il s'agit d'une traduction, ce qui viole la license). Bon courage --Cgolds (d) 19 janvier 2008 à 00:07 (CET)
Oups, je n'ai pas suivi, je viens pourtant de vérifier dans le polycopié d'Edixhoven : mon souvenir correspond : la fermeture intégrale est une notion attaché à un corps : la fermeture intégrale d'un corps K est l'anneau de ses entiers algébriques, la clôture intégrale est attaché à un anneau, la clôture intégrale d'un anneau A est la fermeture intégrale de F son corps des fraction. C'est la définition que l'on m'a apprise, et celle que j'ai utilisé cf Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres. Si une autre définition fait autorité, pas de problème pour reverter. Désolé pour mon action un peu rapide. Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 01:06 (CET)
- que je me suis permis d'annuler (revert) car ce dont il s'agit ici est en français (par ex. Bourbaki) appelé la fermeture intégrale de Z (censé désigner ici l'anneau des entiers ordinaires, je suppose) dans K - j'ai annulé parce que j'ai pensé que l'on avait affaire ici à quelque chose de plus proche de la clôture que de la fermeture intégrale. Je me rends compte que j'ai mal réfléchi, la modif. de Jean-Luc serait bien une légère amélioration, mais de toute façon le gros morceau reste à faire (on peut utiliser la version annulée par mes soins pour faire une version satisfaisante ...)
- Ulysse, Il faut la référence exacte (je n'ai pas l'édition de Bourbaki contenant les définitions de clôture et fermeture intégrale). Pourrais tu avoir la gentillesse de nous donner exactement la définition que propose Bourbaki ? Il faut ensuite analyser plus précisément quels sont les auteurs qui disent quoi pour préciser les différentes définitions utilisées dans la nature. Certains risquent d'avoir appris une convention et d'autres une autre, Si Bourbaki donne une définition différence de Edixhoven, je crains que ni l'un ni l'autre ne corresponde à un cas unique.Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 11:41 (CET)
Début d'enquête : Fermeture intégrale = ensemble des entiers d'une extension donnée, Clôture intégrale ensemble des entiers du corps des fractions.
- Sur la finitude de la fermeture intégrale (prend comme référence l'édition de 1961-1965 de Bourbaki, les chapitres de III à VII)
- Fermeture intégrale et changement de base (considère que la clôture intégrale est la fermeture intégrale de l'anneau des fractions et utilise comme référence La version de Bourbaki de 1954 du chapitre IV algèbre commutative et Grothendick et Dieudonné dans les éléments de géométrie algébrique).
- Dictionnaire mathématique universel reprend la même définition : Clôture intégrale : étant donné un sous-anneau unitaire A d'un anneau commutatif intègre B, on appelle clôture intégrale de A la fermeture intégrale de A dans son corps des quotients.
- Daniel Perrin reprend la même définition dans sa géométrie algébrique de 1995 en page 237
- La Faculté de Jussieu reprend la même convention.
Je ne trouve nulle part d'autres convention sur le net. Il est nécessaire de vérifier précisément si la définition de Bourbaki à changé depuis sa définition de 1965, je commence un peu à douter. Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 12:41 (CET)
- Concernant "Fermeture intégrale = ensemble des entiers d'une extension donnée":
Fondamentalement je ne conteste pas ça, sauf que "extension" doit alors être pris dans le sens de "sur-anneau", d'habitude une extension est un sur-corps (commutatif) d'un corps commutatif donné. Mais il faudrait être précis:
Fermeture intégrale de A dans B (A sous-anneau de B) = (déf.) ensemble des éléments de B entiers entiers sur A (qui est un sous-anneau de B contenant A).
Dire à la place "fermeture intégrale de B" en sous-entendant que A = anneau des entiers ordinaires, me semble contraire à une longue tradition mathématique qui va comme ceci:
une partie X d'un ensemble Y (muni d'une structure) ayant été appelé "fermée" pour certaines "opérations" (on dira par exemple "fermé pour l'addition" - dans un espace métrique, on dira "fermé" tout court pour "fermé pour le passage à la limite de suites infinies d'éléments" d'où dérive la notion topologique de fermé), la fermeture de X (dans Y pour les mêmes opérations) sera en général ce qu'on obtient en appliquant les dites opérations aux éléments de X de toutes les manières possibles, ce qui fournit souvent un (sous-) ensemble fermé pour les mêmes opérations (de Y) contenant X (parfois il faut répéter ce procédé plusieurs fois / indéfiniment voire en une récurrence transfinie pour arriver à un ensemble fermé pour ...). On ne dira pas "fermeture de Y" car si on sous-entend quelque chose, c'est en général bien Y.
Dans les Eléments de Math. de Bourbaki, chap. V de "Algèbre commutative", §1, n°2, la déf.3 dit essentiellement ce que j'écrit plus haut. Mon éd. est de 1964, j'ai commandé à la bibl. du Poly de Zurich (la plus proche de moi) une éd. datant de 1985 pour comparer. Si je n'ajoute rien dans les prochains jours, c'est que Bourbaki n'a rien changé d'essentiel dans sa déf.--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 2 mars 2008 à 10:16 (CET)
Vérification faite, l'énoncé de la définition est exactement la même dans l'éd. 1985 !--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 6 mars 2008 à 04:13 (CET)
