Ensemble de Mandelbrot

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L'ensemble de Mandelbrot est une fractale qui est définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite récurrente définie par :

L'ensemble de Mandelbrot (en noir)
L'ensemble de Mandelbrot (en noir)
Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'autosimilarité des structures.
Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'autosimilarité des structures.
zn+1 = zn2 + c

et la condition z0 = 0

ne tend pas vers l'infini (en module).

Si nous reformulons cela sans utiliser les nombres complexes, en remplaçant zn par le couple (xn, yn) et c par le couple (a, b), alors nous obtenons:

xn+1 = xn2 - yn2 + a

et

yn+1 = 2xnyn + b.

L'ensemble de Mandelbrot a été créé par Benoît Mandelbrot et permet d'indicer les ensembles de Julia : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent; ces points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.

Sommaire

[modifier] Dessiner l'ensemble

Méthode Buddhabrot
Méthode Buddhabrot
Vue fixe d'un vidéo d'agrandissement progressif sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i
Vue fixe d'un vidéo d'agrandissement progressif sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i

Il peut être démontré que dès que le module de zn est strictement plus grand que 2 (zn étant sous forme algébrique, quand xn2 + yn2> 22), la suite diverge vers l'infini, et donc c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à deux et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, i.e. les nombres complexes c pour lesquels z n ne tend pas vers l'infini, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme. Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.

Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes couleurs. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à deux). Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées de points c pour lesquels la suite (zn) tend «plus rapidement» vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.

[modifier] Structures remarquables

La principale structure remarquable est la cardioïde centrale, de centre A\left (\frac{1}{4},0\right ) et d'équation polaire \rho(\theta) = \frac{1}{2}\left (1 - \cos \theta \right ). \

On peut aussi citer le cercle de centre B( − 1;0) et de rayon \frac{1}{4}.

[modifier] Quelques propriétés

L'ensemble \;M\; de Mandelbrot est une partie du plan complexe (incluse dans le disque fermé de centre \;0\; et de rayon \;2\;) qui est compacte , connexe , d'intérieur non vide , symétrique par rapport à l'axe réel et dont l'intersection avec l'axe réel est le segment \;[-2,\frac{1}{4}]\;.

Preuve


Si ,

\;(P_n)_{n\in\mathbb{N}}\; est la suite de polynômes de \;\mathbb{C}[X]\;, définie par la relation récurrente :

\;P_0=X\; et \;\;\forall n\;\;,\;P_{n+1}=P_n^2+X\;,


\;M_n\; l'ensemble des nombres complexes \;z\; tels que \;|P_n(z)|\le2\;,


et \;M\; l'ensemble (de Mandelbrot) des nombres complexes \;z\; tels que \;\sup_n\;|P_n(z)|<+\infty\;.

Alors ,

\;(M_n)_n\; est une suite décroissante de parties compactes connexes (non vides) du plan complexe d'intersection \;M\; qui est par conséquent une partie compacte connexe (non vide) du plan complexe incluse dans \;M_0\; (qui n'est autre que le disque fermé de centre \;0\; et de rayon \;2\;).

La compacité des \;M_n\; est claire vu que ce sont des fermés bornés du plan complexe .

Pour voir que la suite \;(M_n)\; est décroissante (au sens de l'inclusion) on commence par établir que tous les \;M_n\; sont contenus dans \;M_0\;,

en effet si \;|z|>2\; on a \;|P_1(z)|=|z^2+z|\ge|z|^2-|z|>|z|>2\;

et une petite récurrence donne \;|P_n(z)|>|z|>2\; pour tout \;n\ge1\;.

d'où si \;z\in M_{n+1}\; on a \;|P_n(z)|^2\le|P_{n+1}(z)|+|z|\le4\; c'est à dire \;z\in M_n\;,

pour voir que \;M=\cap_{n}M_n\; , il suffit de remarquer que pour \;z\in M\;, le réel \;m(z)=\sup_{n}|P_n(z)|\;

vérifie \;(m(z))^2\le2m(z)\; et donc \;m(z)\le2\;.

\;0\; (qui est racine de tous les \;P_n\;) est intérieur à \;M\; en effet si \;|z|\le\frac{1}{4}\;, une petite récurrence donne ,

\;|P_n(z)|\le\frac{1}{2}\; pour tout \;n\in\mathbb{N}\;

Pour \;M\cap\mathbb{R}=[-2,\frac{1}{4}]

on a déjà \;\;[0,\frac{1}{4}]\subset M\;

Pour \;z\in[-2,0]\; on montre par récurrence que \;|P_n(z)|\le-z\; pour tout \;n\in\mathbb{N}\;

en effet c'est trivial pour \;n=0\; et si on suppose \;|P_n(z)|\le-z\; pour un certain \;n\ge0\;

et vu que \;P_n^2(z)\ge0\; on a \;z\le P_{n+1}(z)\le z^2+z\le-z\;.

Pour \;z\in]\frac{1}{4},+\infty[\; la suite \;(P_n(z))_n\; est réelle positive d'où en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique

\;P_{n+1}(z)\ge(2\sqrt{z})P_n(z)\; soit \;P_n(z)\ge(2\sqrt{z})^nz\;.

Les polynômes \;P_n\; étant à coefficients réels , tous les \;M_n\; ainsi que \;M\; sont stables par conjuguaison complexe .

(ce qui se traduit géométriquement par la symétrie des \;M_n\; et de \;M\; par rapport à l'axe réel)

Remarque : Toutes les racines des polynômes \;P_n\; sont dans \;M\; en effet si \;z\; est racine d'un certain polynôme \;P_r\; ,

il est facile de montrer par récurrence que \;P_{n+r+1}(z)=P_n(z)\; pour tout \;n\in\mathbb{N}\;

ce qui veut dire que la suite \;(P_n(z))_n\; est périodique donc bornée .

Une propriété moins évidente à montrer est la connexité des \;M_n\; (en cours de rédaction)

(à suivre)

 

[modifier] Logiciels générateurs de fractales

[modifier] Algorithmes de génération