Utilisateur:EL/Philosophie des mathématiques
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La philosophie des mathématiques est la branche de la philosophie des sciences concernant les mathématiques. Les philosophes s'interrogent sur la pratique scientifique des mathématiciens, sur la spécificité des objets mathématiques et sur les fondements des mathématiques.
La philosophie des mathématiques comporte comme grands courants l'intuitionnisme, le constructivisme et le logicisme, selon que la réflexion mathématique se réalise en se fondant sur l'intuition, sur la construction logique ou sur des opérations logiques. Sur la nature des objets mathématiques, la philosophie se divise en l'aristotélisme, le platonisme et le formalisme.
Sommaire |
[modifier] Nature des objets mathématiques
[modifier] Le platonisme et le réalisme mathématique
Article détaillé : Platonisme.Issu de la philosophie de Platon, le réalisme mathématique est une idée selon laquelle les objets mathématiques formeraient une "réalité", un monde réel, propre, avec ses propriétés. Les mathématiciens Paul Erdös et Alain Connes relèvent de cette philosophie. Le terme "platonisme" est utilisé ici en référence au Monde des Idées de Platon.
Se renseigner sur les formes de platonisme ?
[modifier] L'aristotélisme
Issu de la philosophie d'Aristote, l'aristotélisme défend l'idée selon laquelle les objets mathématiques s'obtiennent par abstraction de l'expérience sensible. La géométrie d'Euclide se fonde sur la vision des objets solides dans l'espace ; et la notion de déplacement en géométire euclidienne dérive de la possibilité de déplacer effectivement ces objets.
[modifier] Le calculationnisme
Issu de la logique et de l'algorithmique, le calculationnisme défend l'idée selon lequel toute la nature se réduit par identification au calcul.
[modifier] La démarche scientifique
Mathématiques = développement endogène + incorporation <- applications.
[modifier] Le logicisme
Issu des idées de Frege, le logicisme considère que les mathématiques sont toutes entières incluses dans l'ensemble des connexions logiques élémentaires, théoriquement explicitables, qui composent une démonstration.
Formes de logicisme ?
[modifier] L'intuitionnisme
«La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. », Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse
[modifier] Le constructivisme
Les constructivistes n'admettent que les mathématiques construites. Plus techniquement, ils n'acceptent dans les démonstrations que les inférences finies. Par exemple, le raisonnement par récurrence ainsi que l'axiome du choix sont prohibés. Les démonstrations par l'absurde sont également interdites, puisqu'elles ne donnent l'existence de l'être mathématique que par l'impossibilité de son non-être, et non pas par l'explicitation concrète de son existence.
