Discuter:E (nombre)

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J'ai modifié cet article pour deux raisons: Les propriétés prétées précédemment à la constante de Néper ne sont en rien spécifiques à cette constante. En effet:

\forall a \; x \in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}\ exp_a(x)= a^x \;

La spécificité de la constante de Néper me semblait donc peu pertinente.

e\; est une des deux constantes mathématiques les plus importantes avec \pi\;. Il m'a donc semblé utile d'expliquer en quoi cette constante est clé et de quelle manière elle intervient dans des branches très distinctes des mathématiques. Jean-Luc W 25 novembre 2005 à 17:40 (CET)

Début de la réponse de Gemme. Ne pas oublier de signer ses interventions.
Cette remarque est très juste. Mais pourquoi ne pas en avoir tiré les conséquences en supprimant la section Origine de la définition qui est totalement hors sujet dans cet article ?
Car il n'existe aucune raison de privilégier la fonction ex plutôt que πx (par exemple), autrement que par convention. Gemme 25 novembre 2005 à 14:09 (CET)


J'ai laissé l'introduction pour permettre à des lecteurs moins avertis de pouvoir entrer dans le sujet sans avoir une connaissance mathématique trop forte. Je l'ai aussi laissé par respect pour le contributeur précédent.
Il y a une raison de privilégier la fonction ex, l'exponentielle n'est pas le fruit du hasard. C'est la fonction avec la bonne norme. Cela a un paquet de conséquences, en voici quelques exemple. πx n'a pas pour dérivée elle même alors que ex oui, La fonction logarithme a pour dérivée \frac{1}{x}. Si l'exponentielle apparaît dans un nombre si vaste de problèmes c'est bien que la norme est fondamentale. Tu as raison il faut expliquer sans doute mieux la raison de cette norme. Si Napier l'avait trouvé ce n'est pas le hasard.

Jean-Luc W 25 novembre 2005 à 17:40 (CET)

Sommaire

[modifier] Besoin de restructuration

Dès l'instant qu'e est défini comme base des logarithmes naturels, il ne me semble pas nécessaire d'évoquer l'intérêt des logarithmes naturels, ce qui est fait dans cet autre article.
Par contre, je trouve anormal de ne pas trouver les démonstrations de e en tant que limite de la suite ou de la série indiquées. De même, la démonstration (mal rédigée à mon avis) de l'irrationnalité de e devrait être réintégrée à l'article, puisque le seul lien utile de démonstration de l'irrationalité de e ce dernier est base des logarithmes naturels.
Je n'ai malheureusement pas le temps de m'occuper sérieusement de cet article pour le moment. Gemme 28 novembre 2005 à 10:41 (CET)
Bonjour Gemme, ton premier argument de convint, son intérêt devrait être développé dans un des deux autres articles connexes, autant dans l'article sur l'exponentiel que sur le logarithme. La majorité des propriétés décrites ici ne me semble néanmoins pas déjà décrite dans les autres articles. Il faut donc restructurer les trois à mon avis. Ton deuxième point me semble inattaquable sur les deux idées que tu proposes, il va falloir ajouter des liens à cette démonstration d'irrationnalité et déplacer l'article. Une démonstration de cette nature est plutôt rare en mathématiques, à par les racines d'entiers et les nombres de Liouville, je ne connais pas beaucoup de démonstration simple d'irrationnalité. Si cela te convient, je m'y attaque. Je suis encore sur les nombres réels et les fractions continues, mais cela devrait être fini avant la fin du week-end. Merci pour tes remarques. Jean-Luc W 8 décembre 2005 à 12:48 (CET)
En fait, ce qui choque est surtout l'existence de 3 définitions dans la section Définition ; en réalité, 2 de celles-ci ne sont que des propriétés déduites de résultats à démontrer respectivement dans les articles exponentielle et logarithme.
Reprendre ces articles connexes est donc effectivement une nécessité ; c'est typique de Wikipédia : très peu de contributeurs s'intéressent à la cohérence entre les contenus d'articles connexes. La cohérence du contenu d'un article est d'ailleurs rarement assurée : dans Base des logarithmes naturels, le lecteur ignore la notation de la factorielle d'un entier, alors qu'il sait parfaitement ce qu'est un nombre transcendant ! Gemme 8 décembre 2005 à 21:39 (CET)
Tu as farpaitement raison. La vrai définition doit être une conséquence d'une construction explicitée dans un article. Les trois autres articles s'enchainent ensuite. J'ai laissé cette erreur car c'est le premier article que j'ai modifié. Je ne surveillais de loin pas assez les liens. En fait une alternative se présente à nous. Soit on démarre par l'exponentielle comme morphisme de \mathbb R dans \mathbb {R}_+^* puis de \mathbb C dans \mathbb {C}^* puis tombent naturellement les articles sur les logarithmes et les logarithmes complexes et e. Soit on part de la fonction 1/x sa primitive qui s'annule en 1 et l'exponentielle réelle. La première approche est à mon gout la plus belle, la deuxième la plus simple, mais alors, on est coincé pour les exponentielles complexes et la trigo. Qu'en penses tu? avant de faire ce boulot je pense qu'il serait aussi sage de demander aussi à HB, elle fait un boulot à mon goût formidable sur les maths. Je suis pour l'instant tanké sur les nombres réels et j'ai encore un max de boulot. J'ai validé l'essentiel des liens, et pour cela réécrit une bonne demi douzaines d'articles. Mais je le ferais volontier après, si la situation reste en l'état. Jean-Luc W 9 décembre 2005 à 01:31 (CET)
Je tombe par hasard sur cet article et sur cette discussion. Je pense, comme Gemme, que l'article doit être modifié mais pas pour les mêmes raisons : les considérations historiques sont trop imprécises. La question de savoir quelle définition prendre pour e est un faux problème. Comme le montrera l'approche historique, les mathématiques forment un réseau, vouloir les présenter de manière linéaire est, me semble-t-il, une erreur. Le développement des fonctions exponentielles et celui des fonctions logarithmes se font de manière indépendantes pendant plusieurs dizaines d'années. De plus, dans l'encyclopédie, il est souhaitable, quand cela est possible que quelqu'un puisse lire un article sur l'exponentielle (resp. le logarithme) sans qu'on lui dise d'emblée "allez voir le logarithme (resp. l'exponentielle)". Il me paraît donc effectivment nécessaire de restructurer cet article ainsi que celui sur les log et celui sur les exponentielles mais pas forcément dans le sens que vous envisagiez tous les deux. HB 18 février 2006 à 10:06 (CET)

[modifier] Nouvelle restructuration

Je pense restructurer l'article en développant une partie historique plus importante. Je pense que c'est une erreur de dire que le nombre e est important car à la base de tous les morphismes continus de (R,+) dans (R*+, x) car comme le dit Gemme, 2^x paraît plus naturel que e^x. Comme le dit Jean-Luc, la particularité fondamentale de l'exponentielle de base e est qu'elle est sa propre dérivée (relation plus avec les équations différentielles qu'avec les morphismes). Ce qui explique que sa découverte fut plus tardive que celle de 2^x (il est plus simple de travailler avec des puissances de nombres entiers). Je pense que c'est aussi une erreur de dire que le logarithme naturel est LE logarithme qui permet la simplification des calculs. Les premières tables de logarithmes sont les logartithmes décimaux. L'intérêt des logarithmes naturels est d'être une primitive de 1/x donc c'est aussi de manière tardive que l'on s'aperçoit de l'intérêt du logarithme de base e. C'est donc dans cette direction que je compte faire tendre l'article. HB 18 février 2006 à 10:56 (CET)

Les arguments de HB me convint,même si je trouve la construction des exponentielles et des log plus élégant en partant de la notion de morphisme. J'y vois deux arguments. Le premier réside dans le fait qu'une bonne partie des lecteurs voit ainsi l'introduction de ces fonctions. Ensuite, pour les sujets plus avancés comme les équations différentielles sur les variétés. Ce sont bien les notions de différentiations qui sont à l'origine de l'exponentielle et non les notions de morphismes finalement plus spécifiques aux cas réels et complexes. Jean-Luc W 9 avril 2006 à 10:39 (CEST)


[modifier] Prononciation

Quelqu'un pourrait-t-il donner la prononciation courante en français de "e" et de "ln(e)" ?

Perso je dis "euh" et "Hélène de euh". Et j'aime les profs qui me donnent l'occasion de lire "ln(3)" "Hélène de Troie". Barraki Retiens ton souffle! 28 septembre 2007 à 22:35 (CEST)

[modifier] Sur l'irrationalité

Une démonstration classique donc difficile à sourcer avec précision (car il y a liberté sur le traitement.) la version proposée pèche sur ce point

= a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b}b(b-1)\cdots(b-n)

avec l'introduction d'un produit vide qui n'est pas vide et un compteur qui n'a rien de logique avec le compteur précédent. Je propose une autre version plus artihmétique de la fin de la première proposition (avec aussi peu de source que l'autre) car le traitement est divers selon les livres (voir par exemple Terracher TS p 110).

Impossible de trouver une source historique : cette démonstration est parfois attribuée à Euler mais je ne trouve rien de tel dans son livre introduction à l'analyse infinitésimale. Certains attribuent à Euler une démonstration de l'irrationalité par les fractions continues mais comme Euler admet mais ne démontre pas le fait que le développement en fraction continue est infini, cela revient au même. HB 5 octobre 2007 à 15:40 (CEST)