Divergence d'un tenseur

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Sommaire

1 Divergence d'un vecteur
- 1.1 En coordonnées sphériques
- 1.2 En coordonnées cylindriques
2 Divergence d'un tenseur d'ordre 2
3 Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2
4 Remarques
5 Voir aussi

[modifier] Divergence d'un vecteur

Pour un champ vectoriel $\mathbf{v}$ , on a

$\nabla \mathbf{v} = v^i{}_{;i} = v^i{}_{,i} + \Gamma^i_{ij} v^j$

Mettant à profit la formule de contraction

$\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_j \sqrt{\det g}$ ,

on a

$\nabla \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_j \left(\sqrt{\det g} \; v^j \right)$ .

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque.

[modifier] En coordonnées sphériques

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r sinθ$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit

$(\nabla \cdot \mathbf{v})^i = \frac{1}{r^2 \sin\theta} \partial_i \left(r^2 \sin\theta \; v^i\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& v^\theta \mathbf{e}_\theta &+& v^\phi \mathbf{e}_\phi \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \left(\frac{1}{\tan\theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}\right) v^\theta &+& \frac{\partial}{\partial \phi} v^\phi \end{matrix}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r}, \frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r \sin\theta}\right)$ :

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& \left\{ r v^\theta \right\} \left\{ \frac{\mathbf{e}_\theta}{r} \right\} &+& \left\{ r \sin\theta \; v^\phi \right\} \left\{ \frac{\mathbf{e}_\phi}{r \sin\theta} \right\}\\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \left( \frac{1}{r \tan \theta} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left\{r v^\theta\right\} &+& \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \left\{ {r \sin\theta \; v^\phi} \right\} \end{matrix}$

[modifier] En coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit

$(\nabla \cdot \mathbf{v})^i = \frac{1}{r} \partial_i \left(r v^i\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& v^\phi \mathbf{e}_\phi &+& v^z \mathbf{e}_z \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \frac{\partial}{\partial \phi} v^\phi &+& \frac{\partial}{\partial z} v^z \end{matrix}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf{e}_r, \tfrac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}, \mathbf{e}_{z} \right)$ :

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& \left\{r v^\phi\right\} \left\{\frac{\mathbf{e}_\phi}{r}\right\} &+& v^z \mathbf{e}_z \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} \left\{r v^\phi\right\} &+& \frac{\partial}{\partial z} v^z \end{matrix}$

[modifier] Divergence d'un tenseur d'ordre 2

Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit

$a^{ij}{}_{;j} = a^{ij}{}_{,j} + \Gamma^i_{lm} a^{lm} + \Gamma^l_{lm} a^{im} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_k \left(\sqrt{\det g} \; a^{ik}\right) + \Gamma^i_{lm} a^{lm}$

[modifier] Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2

Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a

$a^{ij}{}_{;j} = -a^{ji}{}_{;j} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_k \left(\sqrt{\det g} \; a^{ik}\right)$

En effet, le terme $\Gamma^i_{lm} a^{lm}$ est nul puisque

$\Gamma^i_{lm} a^{lm} = -\Gamma^i_{lm} a^{ml} = -\Gamma^i_{ml} a^{ml} = -\Gamma^i_{lm} a^{lm}$ .

[modifier] Remarques

En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

[modifier] Voir aussi

Catégorie : Calcul tensoriel